15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида
, (1)
где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.
Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера : .
Сумма первых членов ряда (1) называется -й частичной суммой ряда и обозначается через , то есть .
Рассмотрим частичные суммы . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают .
Если не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Примеры: 1. Ряд 1+1+1+…+1+… расходится, , при .
2. Ряд 0+0+0+…+0+.. сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд сходится. Действительно,
Следовательно, , то есть ряд сходится, его сумма равна 1.
Свойства рядов:
1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд
(2)
где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.
2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд
, (3)
А их суммы равны соответственно, то сходятся и ряды
, (4)
причем сумма каждого равна соответственно .
3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.
Нахождение n-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости.
Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .
Достаточное условие расходимости ряда. Если , или этот предел не существует, то ряд расходится.
Признак Даламбера. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный и бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .
Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .
Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что
, то:
1. если сходится, то сходится и ряд (1);
2. если расходится, то расходится также и ряд (1).
Рассмотрим класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
, (5)
где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (5) сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;
Общий член ряда стремится к нулю: .
При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам
. (6)
Доказательство: Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа ( ) членов ряда (5). Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .
С другой стороны, можно переписать так:
.
Видно, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа ( ) членов ряда (5). Очевидно, что . Отсюда следует, что
,
т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (5) сходится, причем . Теорема доказана.
Замечание: Исследование знакочередующегося ряда вида
(7)
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (5).
Числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (8). Если сходится ряд (9), составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (8).
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
16. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные числа, а функции:
. (1)
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость функционального ряда: при каждом фиксированном значении функции принимают числовые значения, и поэтому при каждом фиксированном значении ряд (1) обращается в числовой ряд.
Множество всех значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (1).
В дальнейшем нас будет интересовать, что областью сходимости ряда (1) является некоторый промежуток.
Пусть все члены ряда (1) определены в некотором промежутке.
Функциональный ряд сходится в промежутке, если он сходится как числовой ряд при каждом значении из этого промежутка.
Частичные суммы ряда (1) являются функциями от . При фиксированном значении последовательность частичных сумм ряда (1) есть числовая последовательность. Если изменять , например, в некотором промежутке, то последовательность частичных сумм ряда (1) есть последовательность функций , (2) определенных в этом промежутке
Последовательность функций сходится в промежутке, если она сходится как числовая последовательность при каждом значении из этого промежутка.
Если при каждом значении из некоторого промежутка последовательность (2) сходится как числовая последовательность к некоторому пределу, то величина этого предела зависит от взятого значения , и поэтому при переменном последовательность функций (2) имеет пределом также функцию от : . (3)
Функция называется предельной функцией последовательности (2).
Так как суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то сумма функционального ряда (если он сходится для некоторого множества значений ) есть функция: . Функция определена в области сходимости ряда (1).
Последовательность функций равномерно сходится в некотором промежутке к предельной функции , если для всякого можно выбрать так, что и для всех из данного промежутка выполняется неравенство
(4)
Если последовательность частичных сумм ряда сходится к равномерно в некотором промежутке, то ряд равномерно сходится в этом промежутке. Другая формулировка: Разность между суммой ряда и какой-либо его частичной суммой есть остаток ряда: . Поэтому неравенство (4) может быть записано в виде .
Признак Вейерштрасса: Пусть дан функциональный ряд ; если существует положительный сходящийся ряд ( ), такой, что для всех верны неравенства ( ) (5), то данный функциональный ряд равномерно (и абсолютно) сходится в . (Этот признак справедлив и для ряд, заданного в интервале).
Положительный сходящийся ряд , связанный с функциональным рядом неравенствами (5), часто называется мажорирующим рядом или мажорантным рядом для функционального ряда.
Теорема: Если функции непрерывны в и ряд равномерно сходится в , то сумма ряда – непрерывная функция в . (Теорема справедлива в промежутках любого типа).
Доказательство: Пусть - сумма ряда. Проверим непрерывность в любой точке . Возьмем любую точку и произвольное . По определению равномерной сходимости ряда, найдем по числу такой номер , чтобы для было верно: (6) для всех из .
Из того, что сумма всякого сходящегося ряда получается сложением какой-либо частичной суммы ряда и суммы соответствующего остатка ( ), имеем:
и , где любое из , а - фиксированное и . Вычитая, находим: .
Отсюда . (7)
Так как непрерывна как сумма непрерывных функций, то по заданному можно подобрать так, что из неравенства будет следовать неравенство . Из (7), (6) и последнего неравенства получаем: . Таким образом, для произвольного найдено , такое, что при : . Это означает, что функция непрерывна в точке . Так как - любая точка из , то тем самым доказана непрерывность в .
17. Двойные интегралы, их определение и сведение к повторным. Некоторые приложения двойных интегралов.
Основные свойства двойных интегралов
Разложения двойных интегралов
Объем:
Площадь поверхности:
Вычисление массы плоской фигуры:
Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской фигуры:
Центр тяжести системы материальных точек на плоскости определяется как такая точка, что если в ней сосредоточить массы всех точек системы, то ее статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.
Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция . Разобьем область D на «элементарных областей» ( ), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через .
В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений: . (1)
Эта сумма называется интегральной суммой функции в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда стремится к бесконечности, таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается (или ).
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
. (2)
- функция, интегрируемая в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования; (или ) – элемент площади.
Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
Замечание. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям.
При этом , равенство (2) можно записать в виде
.
Основные свойства двойного интеграла. Будем считать все подынтегральные функции непрерывными.
1. , c – const.
2. .
3. Если область D разбить линией на две области и такие, что состоит лишь из линии, их разделяющей,
то .
4.Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D функции и удовлетворяют неравенству , то и
.
5. , так ка .
6.Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.
7. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области D.
Приложения двойного интеграла.
- Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- 1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- 2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- 5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- 6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- 7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- 8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- 9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- 10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- 11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- 12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- 13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- 14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- 15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- 18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- 19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- 20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- 21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- 23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- Свойства счетных множеств
- Графическое представление
- 5. Основные тождества алгебры множеств
- Принципы математической индукции
- Отображение отношения функции
- 24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- 25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- 26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- 27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- 28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- 29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- 3) Двойственная задача.
- 30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.