8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат . (1)

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел - отлично от нуля. Такие линии называются линиями второго порядка.

Окружность.

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию . (см. рис.)

Тогда из условия получаем уравнение , т.е.

. (2)

Уравнению (2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними через , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через . (см.рис.)

По определению , т.е. .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы и лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть - произвольная точка эллипса. Тогда согласно определению эллипса, , т.е. . (3)

Это и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (3) к более простому виду следующим образом:

,

,

.

Так как , то . Положим . (4) Тогда последнее уравнение примет вид или . (5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кривая второго порядка.

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (5) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается . . (6)

Причем , так как . С учетом равенства (4) формулу (6) можно переписать в виде , т.е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть - произвольная точка эллипса с фокусами и (см. рис.) .

Длины отрезком и называются фокальными радиусами точки . Очевидно, . Имеют место формулы и . Прямые называются директрисами эллипса.

Из равенства (4) следует, что . Если же , то уравнение (5) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси , а малая ось - на оси . (см. рис)

. Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы и , расстояние между ними , а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через . По определению , т.е. .

Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат так, чтобы фокусы и лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка (см. рис.)

. Тогда фокусы будут иметь координаты и .

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы или , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы (7)

где . Гипербола есть линия второго порядка.

Покажем, что гипербола имеет 2 асимптоты: и (8)

Так как прямые (8) и гипербола (7) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку имеющей туже абсциссу , что и точка на гиперболе (см. рис.) , и найдем разность между ординатами прямой и ветви гиперболы: .

По мере возрастания знаменатель дроби увеличивается; числитель – есть постоянная величина. Длина отрезка стремится к 0. Так как больше расстояния от точки до прямой, то и подавно стремится к нулю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (7).

Гипербола (7) называется равносторонней, если ее полуоси равны ( ). Ее каноническое уравнение: (9)

Эксцентриситетом гиперболы (7) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше 1: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно из следует, что , т.е. и . Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен , т.е.

Прямые называются директрисами гиперболы.

Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая их которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через ( ).

Выберем систему координат так, чтобы ось проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к , а начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. (см. рис.) . В выбранной системе фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид .

Пусть - произвольная точка параболы. Соединим точку с . Проведем отрезок перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . , а ,

, следовательно, , т.е.

(10)

Уравнение (10) – каноническое уравнение параболы. Парабола есть линия второго порядка.

Общее уравнение линий второго порядка.

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, внести новые обозначения для коэффициентов) можно запасать с помощью единого уравнения вида , где коэф одновременно.

Пример: