шпоры математика

21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется общий вид всех таких решений этого уравнения, которые соответствуют каждому из допустимых начальных условий.

?22. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные типы уравнений первого порядка и методы их решения. Линейные уравнения n-го порядка.

Дифференциальными уравнениями называют уравнения, которые содержат неизвестную функцию, её производные и аргументы.

Обыкновенным называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Если неизвестная функция является функцией многих переменных, то соответствующее уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, которая входит в это уравнение.

Пример 7.1.

1) - обыкновенное дифференциальное уравнение І порядка.

2) - обыкновенное дифференциальное уравнение ІІІ порядка.

3) + =0 - дифференциальное уравнение в частных производных ІІ порядка (уравнение Лапласа).

Далее будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Наиболее общий вид дифференциального уравнения І порядка такой:

F(x,у,у’)=0. (7.1)

Решением этого уравнения на некотором промежутке называется дифференцированная на этом промежутке функция , которая при подстановке её в уравнение превращает его в тождество.

Пример 7.2. Решить уравнение .

Решение.

= у, = , ln = x+ln , у=Се^х.

Получили множество решений.

С=2

С=1

1 С=0

-1 С= -1

-2

С=-2

Функция , где С – произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) в области D, если:

функция является решением уравнения (7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;
д ля произвольной точки ( ) существует единственное значение С=С₀, при котором функция удовлетворяет начальному условию

Решение , полученное из общего решения при С=С₀, называется частным решением уравнения (7.1).

С геометрической точки зрения решение определяет некоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частное решение определяет только одну интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами ( ).

Если общее решение уравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х,у,С)=0, то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения; равенство Ф(х,у,С₀)=0 называют частным интегралом дифференциального уравнения.

Значит, для уравнения (7.1) можно поставить две задачи:

найти общее решение уравнения (7.1);
найти частное решение уравнения (7.1), которое удовлетворяет начальному условию .

Вторая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения І порядка.

Пример 7.3. Решить задачу Коши

, у(0)=2.

Решение. Сначала ищем общее решение дифференциального уравнения: у=Се^х.

Из начального условия имеем: 2= Се⁰ .

Решением задачи Коши является такая функция: у=2е^х.

Если уравнение (7.1) можно решить относительно у’, то его записывают в виде

и называют уравнением первого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.

Теорема 7.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция непрерывна в некоторой области D, которая содержит точку М ( ), то задача Коши

имеет решение. Если, кроме этого, в точке М непрерывна частная производная , то это решение единственное.

Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечного числа интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решения дифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительной техники.

Рассмотрим некоторые типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

2. Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.

Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные

а затем проинтегрировать

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала отделим переменные

а затем проинтегрируем

, , у=Сlnx.

3. Функция называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа выполняется тождество

Пример 7.5.

1) = ,

- однородная функция третьего измерения.

2) = - однородная функция нулевого измерения.

Уравнение y’= называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если

(7.2)

Очевидно, уравнение вида

будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение

однородное. Считая, в соотношении (7.2) , получим

Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(7.3)

Применим в уравнении (7.3) подстановку

, ,

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

которое всегда интегрируется в квадратурах:

, .

После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить

Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой , .

Пример 7.6. Найти общее решение уравнения

Решение. Применим подстановку , . Тогда получим

, ,

, , .

Пример 7.7. Решить задачу Коши

, у(1)=2.

Решение. Поскольку обе функции

однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде

и применим подстановку , . Тогда получим

, , .

Из начального условия найдём постоянную интегрирования:

Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:

Содержание