Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.

Два линейных пр-ва называют изоморфными, если существует биективное отображение одного в другое, сохраняющее законы композиции. Само отображение называется изоморфизмом линейных пр-в.

Простейшие св-ва:

1. отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на мн-ве линейных пр-в над одним полем

2. в изоморфных пр-вах а) образ (прообраз) линейной комбинации – линейная комбинация образов (прообразов) с теми же коэффициентами б) образ (прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор в) образ и прообраз линейно независимой системы – линейно независимая система г) образ (прообраз) базиса – базис.

Т Два линейных пр-ва над общим полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают (Необходимость из г, Достаточность – каждому вектору ставим в соответствие вектор с теми же координатами во втором базисе, в силу единственности разложения – отображение биективно, при этом координаты обладают линейностью, значит отображение изоморфизм).

Следствие: любое n-мерное вещественное пр-во изоморфно арифметическому пр-ву R^n, а комплексное C^n. (Базис единичных векторов).

Это называется координатным изоморфизмом.