Линал 2 семестр
Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
Характеристическим многочленом матрицы A называется det(A – lI)
Теорема: Характеристический многочлен матрицы является многочленом n-ой степени от l (Каждый элемент матрицы является многочленом степени не выше 1, значит каждый член определителя является многочленом степени не выше n. Все члены определителя, отличные от (a11 – l)(a22-l)…(ann – l) имеют степень не превосходящую n – 2).
Т Характеристические многочлены подобных матриц совпадают (A – lI = (Q^-1)BQ – l(Q^-1)IQ) = B - lI).
Т Число является собственным значением тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. (Ax – lI = 0 det(A-lI) = 0). Равенство характеристического многочлена 0 называется характеристическим уравнением.
Содержание
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).