Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
Матрица размерности n вида l0 на главной диагонали, а 1 над ними называется жордановой клеткой n-ого порядка. Характеристический многочлен (l0 – l)^k, l0 – собственное значение, кратности n. Имеет один собственный вектор.
Рассмотрим произвольное корневое подпространство. Для построение корневого подпространства надо найти момент стабилизации. Будем строить базис в обратном порядке. Построим векторы, дополняющие произвольный базис пространства перед стабилизацией, они будут корневыми векторами максимальной высоты и их количество – разность размерностей на последней и предпоследней высоте. Эти векторы линейно независимы над Nq-1. Помножим каждый из этих векторов на сдвинутый оператор и дополним систему из них и произвольный базис из Nq-2 до базиса Nq-1. Аналогично будем доходить до N1. Полученную за q шагов систему векторов будем называть жордановой лестницей.
Т Построенная система векторов образует базис корневого подпространства (почти очевидно). Нумеровать вектора будем внутри столбца жордановой лестницы снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке. Полученный базис будем называть (жордановым) каноническим базисом корневого подпространства.
Матрица оператора на корневом подпр-ве в каноническом базисе представляет собой жорданову клетку (для одного столбца)
[Jq(lj)]
[ O ]
Рассмотрев все столбцы жордановой лестницы получим матрицу Aj в каноническом базисе, всего клеток – сколько собственных векторов.
|Jq1(lj) O|
| Jq2(lj) |
Aj = |……………………………….|
|O Jqsj(lj)|
Докажем единственность (в плоть до порядка) разложения. Пусть оператор A|Klj имеет квазидиагональную форму в другом базисе. Перенумеруем базис в порядке убывания размеров жордановых клеток. Рассмотрим новую лестницу Жордана. Оболочка натянутая на нижние векторы в новой лестнице – собственное подпространство, те N1. Аналогично рассматриваем оболочки более высоких порядков. Получаем, что лестница не зависит от базиса. Жордановой матрицей называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на диагонали. Жордановым базисом называется базис пространства, в котором матрица оператора принимает жорданову нормальную форму.
Т Пусть (1) A L(V, V) линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, и его характеристический многочлен имеет вид f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp, тогда в пространстве существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму, и на диагонали стоят выражения типа Aj (по теореме о сумме корневых подпространств и о квазидиагональном виде).
Замечание: Жорданова форма обычно определена однозначно, вплоть до порядка следования клеток Жордана.
Замечание: Для операторов простой структуры и только для них Жорданова форма совпадает с диагональной.
Билет 28. Критерий подобия матриц.
Любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму. Жорданова матрица, подобная матрице оператора, называется жордановой нормальной формой матрицы оператора.
Т Две матрицы в комплексном пространстве подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают. ((X^-1)AX = J, X – невырожденная матрица перехода к жорданову базису).
Билет 29. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен.
Т (Г-К) Линейный оператор, действующий в комплексном (вещественном) пространстве, является корнем своего характеристического многочлена (док-во 1) докажем для комплексного пространства: любой вектор имеет разложение по корневым подпространствам, умножим обе части на многочлен от оператора и получим в правой части 0 (скобки перестнаовочны, корневой вектор будет принадлежать ядру), значит для любого вектора многочлен от оператора помножить на вектор равно 0, 2) для вещественного рассмотрим комплексное пр-во той же размерности, тогда матрица оператора в исходном базисе совпадает с матрицей второго оператора в комплексном пространстве, а характеристические многочлены совпадают).
Пусть есть оператор действующий в пространстве над полем, любой многочлен над этим полем, такой что его значение от оператора равно 0 называется аннулирующим многочленом. Многочлен наименьший степени со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом.
Т Минимальный многочлен является делителем аннулирующего многочлена (делим с остатком, остаток не может быть не равен 0, тк его степень меньше степени минимального, а значение от оператора 0).
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).