Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
l = +-1, detQ = +-1, Qe^-1 = QeT, в любом ортогональном базисе. В одномерном случае Qe =[+-1], Двумерный случай существует ортонормированный базис в котором оператор имеет либо вещественную диагональную матрицу, либо вещественную клетку, вида
[a b], a^2 + b^2 = 1, a = cosw, b = -sinw, получим новую форму.
[-b a]
Т Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму, вида: сначала 1, потом -1, потом клетки в тригонометрической форме (по последней Т билета 34.
Простым вращением называется оператор в евклидовом пространстве, который, в некотором ортонормированном базисе, имеет квазидиагональную форму вида 1…1 вещественная клетка в тригонометрической форму 1…1.
Простым отражением называется оператор в евклидовом пространстве, который, в некотором ортонормированном базисе, имеет квазидиагональную форму вида 1…1 -1 1…1.
Т Всякий ортогональный оператор может быть представлен как композиция некоторого числа простых вращений и отражений ( Его матрица может быть представлена).
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).