Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Отображение VxV  P называется скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. (x, y) = сопряжение к (y, x)

2. (ax, y) = a (x, y) , a из P

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

4. (x, x) >= 0, (x, x) = 0  x=0

Вещественное линейное пр-во со скалярным пр-м называется евклидовым, а комплексное – унитарным.

Простейшие св-ва:

1. (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

2. (x, ay) = сопряжение a(x, y)

3. (0, x) = (x, 0) = 0

4. (x, y) = 0 для любого y  x = 0;

5. Любое подпространство евклидова (унитарного) пр-ва – евклидово (унитарное) пр-во

Неравенство Коши-Буняковского: |(x,y)|^2 <= (x,x)(y, y)

(рассмотрим (ax- y, ax – y), преобразовав возьмем a = (y, x)/(x, x) а сопряженное a = (x, y)/(x,x))