Билет 4. Прямая сумма подпространств.

Сумма подпространств линейного пр-ва называется прямой суммой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпространствам единственно.

Т Критерий прямой суммы - утверждения равносильны:

1. сумма подпространств прямая

2. совокупность базисов линейно независима

3. совокупность базисов подпространств образует базис суммы

4. размерность суммы – сумма размерностей

5. существует вектор, для которого разложение единственно

6. произвольная система ненулевых векторов, взятых по одному из каждого подпространства линейно независима

7. пересечение любых двух подпространств – 0 вектор.

1 – 2 иначе было бы два разложение 0 вектора.

2 – 1 рассмотреть разность двух разложений – получить нетривиальную комбинацию

2 – 3 3 - 2 из Т о сумме линейных подпр-в (Б3)

3 – 4 4 – 3 различие только в терминологии

5 – 1 рассмотрим от противного разность двух разложений, получим не тривиальное разложение 0 вектора. прибавим его к вектору, для которого разложение единственно и получим его второе разложение

1 – 5 очевидно

1 – 6 получить второе разложение 0 вектора

6 – 1 рассмотреть разность двух разложений

4 – 7 7 – 4 теорема о размерности (последняя теорема Б3)

Т Линейное пр-во является прямой суммой двух своих под-ств тогда и только тогда, когда размерность всего пр-ва равна сумме размерностей, а размерность их пересечения равна 0 вектору. (Необходимость – критерий прямой суммы Достаточность – размерность подпространства меньше размерности пр-ва).

Дополнительным подпространством к (1) называется подпространство (2), если прямая их сумма равна всему пр-ву.