Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.

Совокупность всех векторов, ортогональных подпространству, называется ортогональным дополнением.

Т Ортогональное дополнение – линейное подпр-во (сумма двух скалярных произведений, и из свойств скалярного пр-я).

Т Прямая сумма подпр-ва и его ортогонального дополнения – все пр-во (рассмотреть наличие еще одного базисного вектора и применить к базису процесс ортоганалиации).

Следствие: существует единственное разложение вектора на подпр-во и его ортогонального дополнения. Вектор из подпр-ва – проекция, добавочный – ортогональная составляющая. Скалярный квадрат наклонной равен сумме скалярных квадратов проекции и перпендикуляра. Длина перпендикуляра – расстояние до подпр-ва.

Билет 10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы.

(Начало взять из Б6)

Матрица над полем комплексных чисел называется унитарной, если произведение её на сопряжение равно произведению сопряжения на неё и равно I. Матрица над полем вещественных чисел называется ортогональной, если обратная к ней – транспонированная.

Т Матрица перехода от ортогонального базиса (1) к базису (2) евклидового (унитарного) пр-ва ортогональна (унитарна) тогда и только тогда, когда (2) ортогональный базис.

(Столбцы матрицы перехода – координаты нового базиса в старом, расписать равенство I, получить выражения для скалярных произведений).

Билет 11. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. QR-разложение матрицы.

Процесс: 1 шаг – нормируем 1 базисный вектор.

последующие шаги - вычитаем из соответствующего базисного вектора новые базисные вектора с коэффициентами из соображения ортогональности, затем нормируем.

Процесс ортогонализации приводит путем элементарных преобразований столбцов матрицу к ортогональной (унитарной) Q путем умножения исходной матрицы справа на верхнюю треугольную L. R = L^(-1). L – квадратная матрица.

Билет 12. Линейное аффинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскость в евклидовом и унитарном пространстве.

Вектор многообразия, перпендикулярный образующему пространству, называется нормальным вектором.

Т Для любого линейного многообразия в евклидовом (унитарном) пр-ве существует, и притом единственный, нормальный вектор (пересечение многообразия с ортогональным дополнением к образующему пространству состоит из 1 вектора, а это доказывается через разложение нормального вектора).

Т Нормальный вектор линейного многообразия совпадает с перпендикуляром, опущенным из любого вектора линейного многообразия на направляющее подпр-во (выбрать в качестве направляющего вектора нормальный).

Гиперплоскость: размерность дополнительного подпр-ва – 1. Выражение для гиперплоскости (x – x0, a) = 0 или в равносильной форме (x, a) = p, p = (x0, a)