2. Аксиомы стереометрии

Сформулируем те аксиомы, на которых будем строить наш курс.

Аксиома 1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Вторую часть аксиомы плоскости можно выразить еще и так: через каждые три точки можно провести плоскость – или так: любые три точки лежат в одной плоскости.

Обратите внимание, что в аксиоме 1 говорится «существуют плоскости», т. е. что плоскостей в пространстве больше одной.

Аксиома 2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Замечание. То, что пересечение двух плоскостей есть их общая прямая, означает, что она является прямой как на одной, так и на другой плоскости. Кроме того, у этих плоскостей нет общих точек вне их общей прямой.

Две плоскости, имеющие общую точку (и тем самым общую прямую), называются пересекающимися плоскостями.

Аксиома 3 (аксиома принадлежности прямой плоскости). Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Другими словами, если две точки данной прямой принадлежат данной плоскости, то прямая содержится в этой плоскости.

Из этой аксиомы следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Аксиома 4 (аксиома планиметрии). На любой плоскости выполняется планиметрия.