7.2. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
Следующие несколько терем дают свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 7.2. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны (без доказательства).
Теорема 7.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть и – две параллельные прямые и – плоскость, перпендикулярная прямой . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой .
Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую . Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую , параллельную прямой .
Так как прямая перпендикулярна плоскости , то прямые и перпендикулярны. А по Т 7.2 параллельные им пересекающиеся прямые и тоже перпендикулярны.
Таким образом, прямая перпендикулярна любой прямой в плоскости , значит .
Теорема 7.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть и – две прямые, перпендикулярные плоскости . Допустим, что прямые и не параллельны.
Выберем на прямой точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую , параллельную прямой . Прямая перпендикулярна плоскости по Т 7.3. Пусть и – точки пересечения прямых и с плоскостью . Тогда прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и . А это невозможно, значит пришли к противоречию.
Теорема 7.5. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
Теорема 7.6. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
- 2. Аксиомы стереометрии
- 3. Способы задание плоскости
- 4. Взаимное расположение прямых в пространстве
- 5. Параллельность прямой и плоскости
- 6. Параллельность плоскостей
- 7. Перпендикулярность прямой и плоскости
- 7.1. Определение
- 7.2. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
- 8. Перпендикуляр и наклонная
- 9. Расстояние в стереометрии
- 10. Перпендикулярные плоскости
- 11. Углы между прямыми и плоскостями
- 11.1. Угол между скрещивающимися прямыми
- 11.2. Угол между прямой и плоскостью
- 11.3. Угол между плоскостями