5. Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 5.1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство. Пусть – плоскость, – не лежащая в ней прямая и – прямая в плоскости , параллельная прямой . Проведем плоскость через прямые и . Плоскости и пересекаются по прямой . Если бы прямая пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой . Но это невозможно, так как прямые параллельны. Итак, прямая не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости ей.

Теорема 5.2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

Доказательство. Пусть прямая параллельна плоскости и принадлежит плоскости . Докажем что прямая пересечения плоскостей и - - параллельна прямой . Предположим, что это не так. Тогда прямые и пересекаются, но поскольку прямая лежит в плоскости , значит прямая пересекает , что противоречит условию их параллельности, следовательно и параллельны.

Теорема 5.3. Если через каждую из двух параллельных прямых провести плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

Доказательство. . По условию значит по Теореме 5.1 . Так как к тому же , значит по Теореме 5.2 . Аналогично доказывается, что .

Теорема 5.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.