6. Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 6.1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть и – данные плоскости, и – прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, и – соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой . По Т 5.1 прямые и , как параллельные прямым и , параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую . Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые ( и ), параллельные прямой . Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию .

Теорема 6.2. Если две параллельных плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны между собой.

Теорема 6.3. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну (без доказательства).

Теорема 6.4. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Теорема 6.5. Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

Теорема 6.6. Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и второй или лежит в ней. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую (без доказательства).