22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
Общий вид: F(x,y,y’, y’’, ... y(n))=0 (1)
1)предп-м, что в (1) отсутств. y и ее несколько первых произв-х. т.е. F(x, y(k) , y(k+1) ,..., y(n)), 1kn. заменяя y(k) на z понижаем порядок уравнения до (n-k): F(x,z,z',...,z(n-k))=0
2)пусть в левой части (1) аргумент x явно не присутствует: F(y,y’, y’’, ... y(n))=0 здесь удобно ввести новую независимую переменную y, а за функцию взять y’=p. Тогда y' = dp\dx = (dp\dy)*(dy\dx) = p*p’y; y’’’ = d\dy(p*p’y)*dy\dx = p*d\dy(p*dp\dy); ... ; y(n)=(p*d\dy)n-1p. подставляя все в уравнение, придем к дифф.у-ю (n-1)го порядка: G(y,p,...,p(n-1))=0.
3)иногда левая часть у-я представляет собой полную производную, т.е. у-е приводится к виду: d\dx [R(x,y,y’,...,y(n-1))]=0. тогда R(x,y,y’,...,y(n-1))=c1 и мы получаем дифф.у-е (n-1)го порядка.
4)Рассмотрим случай, когда левая часть у-я (1) явл-ся однор. ф-цией отн-но y и ее произв-х: F(x,ty,ty',...,ty(n-1),ty(n))=tm*F(x,y,y’,...,y(n-1),y(n)). Произв-м замену ф-ции: y=ezdx. Тогда y'=z* ezdx; y''=(z'+z2)ezdx;...;y(n)= ezdxPn(z,z’,...,z(n-1)); подставляя все в у-е, имеем: F(x, ezdx, z* ezdx,..., ezdxPn(z,z’,...,z(n-1))) = {t= ezdx} = emzdxF(x,1,z,...., Pn(z,z’,...,z(n-1))) = 0. отсюда H(x,z,z’,...,z(n-1)) =0, т.е. получили у-е (n-1)го порядка. Иногда функция F является обобщенно-однородной, т.е. F(еx,ty,t-1y',...,t-ny(n))=tm*F(x,y,y’,...,y(n-1),y(n)). Тогда удобно провести одновременную замену и аргумента и функции: х=e, y=ze. В рез-те имеем: y’=dy\dx=d\d(ze)*d\dx = e(-1)(dz\d+z);...; y(k)=e( - k)Lk(z,z’,....,z(k)), где Lk – линейная функция переменных. Подставляя все в у-е получим: F(e, ze, e(-1) L1, ... ,e(-n) Ln) = {t=e} = em F(1,z,L1,...,Ln) = 0, а отсюда F(1,z,L1,...,Ln) = 0. данное у-е не содержит независ. переменной, и поэтому допускает понижение порядка.
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.