44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
Теорема. О максимальном числе независимых первых интегралов.
Максимальное число независимых первых интегралов системы (1) равно её порядку.
Док-во. Пусть независимые первые интегралы системы (1). Существование такого кол-ва первых интегралов доказано ранее. Это означает, что якобиан:
(2)
допустим, что есть ещё один первый интеграл . Записывая необходимое и достаточное условие для первых интегралов получим (n+1) уравнений:
………………………………………(3)
По типу системы (3) составим новую систему для неизвестных :
…………………………(4)
Система (4) представляет собой линейную однородную алгебраическую систему (n+1) для (n+1) неизвестных. Согласно (3) система (4) имеет ненулевое решение: при . Это означает, что определитель системы (4) тождественно равен нулю, т.е. якобиан:
(5)
Соотношение (5) показывает, что межу функциями существует зависимость, и, следовательно, одна из них является функцией остальных. Таким образом, новый первый интеграл есть функция n первых независимых интегралов:
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.