58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
Рассмотрим систему вида: (4)
где Mik(D) – операторные многочлены некоторой степени, f1(x), f2(x), …, fn(x) – достаточное число раз дифференцируемые функции.Попытаемся получить дифференциальное уравнение для одной из неизвестных, например y1. Подействуем на первое уравнение слева оператором N11(D) – алгебраическим дополнением для элемента M11(D) следующего операторного определителя
(5).
На второе уравнение системы (4) подействуем слева оператором N21(D) – алгебраическим дополнением для элемента M21(D) определителя и т.д. На последнее уравнение действуем слева оператором Nn1(D) – алгебраическим дополнением для элемента Mn1(D) определителя (5). Затем, складывая получившиеся уравнения, получаем:
или
(6)
Уравнение (6) – линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Аналогичным образом получаются уравнения для определения неизвестных y2, y3, …, yn:
(7)
При выводе системы (6)-(7) мы предполагали дифференцируемость решений. Этот факт можно доказать. Может также оказаться , тогда предложенный метод решения ничего не дает.
Пусть . Тогда определитель представляет собой операторный многочлен относительно D некоторой степени m. Степень многочлена m и называется порядком системы (4). Общее решение первого уравнения системы (6)-(7) будет содержать m произвольных постоянных, второго также m постоянных и т.д.Т.о., общее число произвольных постоянных окажется равным m*n. В соответствии с порядком системы (4) независимыми являются только m произвольных постоянных. Для того, чтобы установить зависимость между произвольными постоянными, следует найденные общие решения системы (6)-(7) подставить в исходную систему (4) и потребовать выполнения тождеств для любых x. В рез. этой процедуры должно остаться m произвольных постоянных, через которые выражаются все остальные.
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.