logo
du_add

24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.

Определителем Вронского системы функций наз-ся опр-ль вида

W(x)=W(y1...yn) = ; Трм: Если y1(x), y2(x),...,yn(x) – лз, достаточно число раз дифференциируемые ф-ции, то W(y1...yn) тождественно равен нулю. Д-во: исходим из л.з-ти ф-ций: 1, 2,...,nR , (12+22+...+n2  0 ) такие что (1y1 + 2y2 +...+nyn = 0; продифф-м соотношение последовательно n-1 раз и составим систему.

полученную сист. можно рассм-ть как алг. сис. ур-й отн-но неизв-х 1, 2,...,n которая при x в соответствии с усл-м 12+22+...+n2  0 имеет ненулевое реш-е. Значит, для x определительсистемы =0, а опр-ль этой системы и есть W(x);

Трм об лнз реш-ях однородного дифф. у-я. Пусть y1(x), y2(x),...,yn(x) – лнз реш-я однор. лин. дифф.у-я n-ного порядка y(n) + a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y’+an(x)y =0 (1). Тогда W(x) не обращ-ся в 0 ни в одной из точек [a,b]; д-во: предположим, что при некотором x=x0[a,b]: W(x)=0. Значит, =0; cоставим систему - это система однородных уравнений с неизвестными c1...cn. поскольку ее опр-ль, W(x0)=0, система имеет ненулевое реш-е. Обозначим это нетрив. реш-е через и составим ф-цию: y(x) = . В силу доказанной трм, эта ф-ция явл-ся реш-ем у-я (1). В то же время, согласно первому у-ю системы y(x0)=0; cогласно второму – y'(x0)=0 и т.д.. в силу последнего имеем y(т-1)(x0)=0. Т.о. построенное реш-е удовлетворяет нужным начальным усл-м (x0,0,...,0). Значит, по трм о единств., y(x)0. отсюда 0 причем ясно, что не все ci=0 т.е. получается, что решения – лз, а это противоречит усл-м задачи, а значит, W(x)0 ни в одной точке из [a.b]. Следствия: Поскольку система n решений лин.диф.у-я м.б. либо лз, либо лнз, то W(x) соответсвенно либо тожд. равен нулю, либо не обращ-ся в 0 ни в одной точке. Таким образом, если W(x)=0 в одной точке, то он тождественно равен нулю и решения – лнз.

25. Фундаментальная система решений. Теоремы о существовании фундаментальной системы решений, о ее линейном невырожденном преобразовании.

Определение. Система n линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка называется фундаментальной.

Теорема (О существовании фундаментальной системы решений) : линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка всегда имеет фундаментальную систему решений. Доказательство: выберем n2 действительных чисел aik таким образом, чтобы det{aik}0. Построим систему решений линейного однородного уравнения (1) следующим образом.

Первое решение определим так, чтобы при x=x0 : y1(x0)=a11, y1(x0)=a21,…,y(n-1)1(x0)=an1. По теореме существования такое решение единственно. Определим второе решение y2(x) так, чтобы для него н.у. были (x0,a12,…,an2). И т.д. Для yn(x) за начальные условия берем (x0,a1n,…,ann). По построению, для этой системы решений W(y1,y2,…,yn)|x=x00. Следовательно, данная система решений линейно независима, т.е. фундаментальна.

Теорема (О линейном преобразовании фундаментальной системы решений) : если фундаментальную систему решений подвергнуть линейному невырожденному преобразованию, то получится снова фундаментальная система решений. Доказательство: рассмотрим новую систему функций , которая получается линейным невырожденным преобразованием из фундаментальной системы : , причем det A=det AT0.

Поскольку yk – решение однородного дифференциального уравнения, то их линейные комбинации zi также являются решениями . Докажем фундаментальность системы решений z. Составим матрицу . Отсюда W(z1,…,zn) = W(y1,…,yn) det A. В силу фундаментальности исходной системы {y1,…,yn} определитель Вронского W(y1,…,yn)0, а поскольку линейное преобразование невырождено – det A0. Поэтому при любых x определитель Вронского W(z1,…,zn) системы решений {z1,…,zn} отличен от нуля. Значит новая система решений однородного дифференциального уравнения также фундаментальна.

Следствие. Существует бесчисленное множество фундаментальных систем решений однородного дифференциального уравнения.