39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
Есть уравнение вида a0(x)y’’ + a1(x)y’+a2(x)y=0, где a0(x),a1(x),a2(x) – либо многочлены либо степенные ряды. Трм: Если в какой-либо точке a0(x0)0, то это у-е имеет два лнз решения в форме степенного ряда: . Без док-ва. Уравнение Эйри: Рассмотрим у-е: y'' – xy = 0 (1) которое называется уравнением Эйри. Поскольку a0(x)=1, то можно применить трм и искать решение в виде степенного ряда с центром в точке x=0. (2) Подставляя (2) в (1) имеем . Выделим в первой сумме слагаемое с k=2, а во второй произведем замену индекса суммирования k+1 = m-2 или k = m-3. В результате получим или Поскольку данное рав-во справ-во для любых x, приравняем нулю коэфф-ты степенного ряда, стоящие при различных стпенях x. A2=0, Akk(k-1)-Ak-3=0, k=3,4,... Отсюда находим соотношение для коэфф-тов Ak, . полагая k=5,8,11,... получаем: A5=A2\5*4 =0, A8=A5\8*7=0, A11=A8\11*10=0.....A3n-1=0. Далее,
Aналогично, . Подставляя это в (2) и производя перегруппировку членов ярда придем окончательно к
Здесь A0 и A1 – произв.постоянные, значит мы построили реш-е у-я 2, где в квадратных скобках записаны два фунд.реш-я у-я Эйри. Докажем, что полученные ряды абсолютно сходятся на всей числовой оси. По признаку Даламбера:
для xR Аналогично доказ-ся сходимость 2го ряда.
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.