du_add

22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.

Общий вид: F(x,y,y’, y’’, ... y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

1)предп-м, что в (1) отсутств. y и ее несколько первых произв-х. т.е. F(x, y⁽^k⁾ , y⁽^k⁺¹⁾ ,..., y⁽ⁿ⁾), 1kn. заменяя y^(k) на z понижаем порядок уравнения до (n-k): F(x,z,z',...,z⁽ⁿ^-^k⁾)=0

2)пусть в левой части (1) аргумент x явно не присутствует: F(y,y’, y’’, ... y⁽ⁿ⁾)=0 здесь удобно ввести новую независимую переменную y, а за функцию взять y’=p. Тогда y' = dp\dx = (dp\dy)*(dy\dx) = p*p’_y; y’’’ = d\dy(p*p’_y)*dy\dx = p*d\dy(p*dp\dy); ... ; y⁽ⁿ⁾=(p*d\dy)ⁿ^-1p. подставляя все в уравнение, придем к дифф.у-ю (n-1)го порядка: G(y,p,...,p⁽ⁿ^-1))=0.

3)иногда левая часть у-я представляет собой полную производную, т.е. у-е приводится к виду: d\dx [R(x,y,y’,...,y⁽ⁿ^-1))]=0. тогда R(x,y,y’,...,y⁽ⁿ^-1))=c₁ и мы получаем дифф.у-е (n-1)го порядка.

4)Рассмотрим случай, когда левая часть у-я (1) явл-ся однор. ф-цией отн-но y и ее произв-х: F(x,ty,ty',...,ty⁽ⁿ^-1),ty⁽ⁿ⁾)=t^m*F(x,y,y’,...,y⁽ⁿ^-1),y⁽ⁿ⁾). Произв-м замену ф-ции: y=e^^zdx. Тогда y'=z* e^^zdx; y''=(z'+z²)e^^zdx;...;y⁽ⁿ⁾= e^^zdxP_n(z,z’,...,z⁽ⁿ^-1)); подставляя все в у-е, имеем: F(x, e^^zdx, z* e^^zdx,..., e^^zdxP_n(z,z’,...,z⁽ⁿ^-1))) = {t= e^^zdx} = e^m^^zdxF(x,1,z,...., P_n(z,z’,...,z⁽ⁿ^-1))) = 0. отсюда H(x,z,z’,...,z⁽ⁿ^-1)) =0, т.е. получили у-е (n-1)го порядка. Иногда функция F является обобщенно-однородной, т.е. F(еx,t^y,t^^-1y',...,t^^-ⁿy⁽ⁿ⁾)=t^m*F(x,y,y’,...,y⁽ⁿ^-1),y⁽ⁿ⁾). Тогда удобно провести одновременную замену и аргумента и функции: х=e^, y=ze^. В рез-те имеем: y’=dy\dx=d\d(ze^)*d\dx = e⁽^^-1)^(dz\d+z);...; y⁽^k⁾=e⁽^^-^k⁾^L_k(z,z’,....,z⁽^k⁾), где L_k – линейная функция переменных. Подставляя все в у-е получим: F(e^, ze^, e⁽^^-1)^L₁, ... ,e⁽^^-ⁿ⁾^L_n) = {t=e^} = e^m^F(1,z,L₁,...,L_n) = 0, а отсюда F(1,z,L₁,...,L_n) = 0. данное у-е не содержит независ. переменной, и поэтому допускает понижение порядка.

Содержание