23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
Опр: Линейным дифф.у-ем n-ного порядка наз-ся у-е вида y(n) + a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y’+an(x)y = f(x), (2) в которое неизв-я ф-ция и ее произв-е входят линейно. Будем считать ф-ции a1(x)...an(x), f(x) непрер. на [a,b]
Трм: Если ф-ции a1(x)...an(x), f(x) в у-и (2) непр. на [a,b], то в области G:a<x<b, -<y<, ... , -<y(n-1)< c начальной точкой (x0,y0,y0’,...,y0(n-1)) cуществует единств. решение линейного у-я (2) y=(x) удовл-ее начальным усл-ям: (x0) = y0, ’(x0) = y’0,..., (n-1)(x0) = y0 (n-1), и определенное в окрестности точки x0 : |x-x0|h. Док-во: перенесем все слагаемые, кроме y(n) в правую часть у-я (2), приведя его к стандартной форме, y(n) = -a1(x)y(n-1) - ... – an-1(x)y’ – an(x)y + f(x). Проверим выполнение доказанной ранее трм для у-я n-ного порядка с f(x,y,y',...,y(n-1)) = - + f(x). Ф-ция f непрерывна по совокупности переменных в области G в силу линейности по переменным y, y',...,y(n-1) и условий трм о непр-ти ai(x) и f(x). далее, поскольку = an-k(x), правая часть уравнения имеет непрерывные частные производные. Следовательно, на отрезке [a,b] эти производные ограничены. Поэтому все условия общей трм выполнены и сущ-т единств. реш-е у-я (2). Заметим, что можно доказать существование и единственность решения линейного дифф.у-я n-ного порядка методом последовательных приближений на всем интервале a<x<b при начальных усл-ях (x0) = y0, ’(x0) = y’0,..., (n-1)(x0) = y0 (n-1), где значения (y0,y0’,...,y0(n-1)) – любые. У-е (2) с f(x)0 наз-ся неоднор, если же f(x)=0, то у-е y(n) + a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y’+an(x)y = 0 (3) наз-ся однородным, соотв-м неоднор. у-ю (2). У-е (3) всегда имеет тривиальное решение y=0, которое удовлетворяет нулевым нчальным усл-ям (x0,0,0,...,0). В силу доказанной трм такое реш-е единтсвенно.
Назовем выраж-е дифференциальным оператором. Такой оператор явл-ся линейным, поскольку обладает св-вом: для с1, с2 R.
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.