Аппроксимация функций

Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x). Аппроксимацией называется получение некой функции, приближенно описывающей какую-то функциональную зависимость f(x), заданную таблицей значений, либо заданную в виде, неудобном для вычислений. При этом эту функцию выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов. Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что функция fi(x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров c1, c2, …, cn, значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и fi(x). Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и под- бора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций. В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации, среди которых наибольшее распространение получили интерполяция и среднеквадратичное приближение. Наиболее простой является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию линейно зависящую от параметров, т. е. в виде обобщенного многочлена: . Интерполяционным многочленомназывают алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в n выбранных точках. Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени n-1, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n. Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум квадрата расстояния между функциями f(x) и fi(x, c).Метод наименьших квадратов является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании метода наименьших квадратов аналогично задаче интерполяции в области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f(x) и fi(x) должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x1, ..., xm, число которых больше, чем количество искомых параметров. Далее, требуют чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна.