Процедуры просеивания пуассоновского потока: регулярная, случайная.

Потоком Пальма называется поток, в котором промежутки времени между двумя соседними событиями представляют собой независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону.

Частным случаем потоков Пальма являются простейшие потоки, в которых интервалы между соседними событиями распределены по пока­зательному закону. Если интервалы между событиями подчиняются гауссовскому распределению, то такие потоки называются нормальными.

Очевидно, что для регулярного потока закон распределения вы­ражается -функцией.

В теории массового обслуживания широко используются потоки Эрланга. Они образуются из простейших потоков путем применения к ним операции "просеивания". Эта операция заключается в том, что из простейшего потока удаляется некоторое число точек по опреде­ленному правилу. Если удаляются точки через одну, т.е. остается каждая 2-я точка, то поток Эрланга называется потоком 2-го порядка (Э₂). Ес­ли удаляются две точки подряд и остается каждая 3-я точка, то по­лучается поток Эрланга 3-го порядка (Э₃). Если удаляются (k-l) точек подряд, а остается каждая k-я точка, то поток Эрланга на­зывается потоком k-го порядка (Э_к). Очевидно, что простейший по­ток является потоком Эрланга 1-го порядка.

Рассмотрим (без доказательств) два типичных преобразования, выполняемых над случайными потоками: суммирование потоков и раз­режение потоков,

Суммарным называется поток, получающийся путем сложения слу­чайных событий исходных суммируемых потоков. Отметим два основных свойства суммарных потоков.

1) Для суммарного потока существует предельная теорема: сум­ма независимых, ординарных и стационарных случайных потоков схо­дится к пуассоновскому потоку при неограниченном увеличении числа слагаемых. Интенсивности суммируемых потоков должны при этом быть соизмеримы. Эта теорема аналогична центральной предельной теореме для случайных величин.

2) При сложении n как стационарных, так и нестационарных по­токов интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей потоков-слагаемых и выражается соотношением

Разреженным (редеющим) потоком называется поток, получающий­ся из исходного потока путем случайного удаления из него событий с постоянной вероятностью q. Иными словами, событие исходного по­тока остается в разреженном с вероятностью р = 1-q.

Следует различать операцию детерминированного "просеивания", с помощью которой получаются потоки Эрланга, и операцию случайно­го разрежения.

В качестве примера редеющего потока можно привести поток не­обслуженных заявок на выходе СМО с отказами. Отметим основные свойства редеющих по­токов:

1) Для редеющих потоков существует предельная теорема: если последовательно разрежать исходный стационарный ординарный поток Пальма с вероятностями р₁,р₂,…,р_n, то многократно разреженный поток стремится к пуассоновскому при n.

2) Интенсивность разреженного потока _p равна интенсивности исходного потока, умноженной на вероятность сохранения события в потоке, т.е. _p = р.

ИЛИ

Регулярное просеивание:

1. Изобразить на временной оси поток

2. Оставляем каждую вторую точку

третью точку

…

каждую k-ю точку

3. Получаем поток Эрланга 1-го порядка

2-го порядка

…

k-го порядка

Поток Эрланга k-порядка – поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем каждую k+1точку, а остальные выбросить.

поток – интервалы между событиями

Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка.

Случайные величины распределены по случайному закону:

Закон распределения Эрланга k-го порядка:

Случайное просеивание

Каждая заявка из исходного потока, независимо от всех других заявок, попадает в просеиваемый поток с вероятностью P.

Исходный поток Пуассоновский поток интенсивностью λ

Просеянный поток p*λ

Распределение Эрланга имеет меньшую дисперсию, чем распределение Пуассона.