Случайные процессы. Основные характеристики: плотность распределения, среднее значение, скорость изменения и автокорреляционная функция.

Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами.

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

Одномерная плотность распределения вероятности W(x,t) определяет вероятность того, что случайная величина ξ (t) лежит в интервале  с помощью функции W(x,t) можно провести усреднение как случайной величины ξ (t), так и любой функции от нее.

Среднее значение случайного процесса

Х .

Средним значением случайного процесса или его первым моментом называется интеграл

Таким образом, используя одномерную плотность распределения вероятности  можно получить параметры случайного процесса, которые являются усреднением по множеству (ансамблю) реализаций данного случайного процесса в каком либо его «сечении», то есть в фиксированный момент времени t. Но задание одномерной плотности распределения вероятности не дает возможность определить характер изменения случайного процесса во времени и не характеризует взаимосвязь случайного процесса в различные моменты времени. Для этого вводят понятие двумерной плотности распределения вероятности  , описывающей связь двух значений ξ(t₁) и ξ(t₂) в произвольные моменты времени t₁ и t₂.

Автокорреляционная функция процесса Х

В случае стационарного случайного процесса:

С помощью двумерной плотности распределения вероятности можно определить автокорреляционную (ковариационную) функцию

а также автокорреляционную функцию центрированного случайного процесса

или

Для дискретного процесса длиной n   с известными мат. ожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:

для любых положительных целых k и n.

Скорость изменения

Для оценки скорости изменения случайного процесса используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между X(t1) и X(t2). Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени t1 и t2 называется корреляционной функцией:

.