Уравнение Колмогорова (прямое). Следствия из уравнений Колмогорова.

Дифференциальные уравнения Колмогорова (УрК) служат для описания изменчивости вероятностей состояний многоэлементной системы с отказами и восстановлениями. При этом предполагают, что система функционирует в непрерывном времени, а ее элементы меняют свое состояние под воздействием дискретных токов отказов и восстановлений с интенсивностями k и µk соответственно; здесь k = 1,…, N , где N – число элементов системы. При простейшем потоке этих событий, т. е. при ординарности потока и отсутствии последействия, возникает марковский процесс переходов системы из состояния в состояние. УрК описывают подобные процессы. Переменными в УрК служат вероятности состояний исследуемой системы (t), . Получение этих вероятностей в результате решения УрК позволяет оценить практически важные показатели надежности, например, вероятность безотказной работы системы.

Рассмотрим три последовательных момента времени для непрерывных цепей Маркова.

Пользуясь уравнениями Колмогорова-Чепмена и соотношениями:

,

N-максимальное число требований, λ_i – плотности вероятности выхода из состояния, а λ_ij – плотности вероятности перехода из состояния в состояние.

Имеем:

Поэтому

Переходя к пределу при Δt→0, получаем прямую систему уравнений Колмогорова:

,

Если задано начальное распределение вероятностей q=(q0,q1…qn), где q1=P{X(0)=i},

Умножая каждое из прямых уравнений Колмогорова на q_i и складывая их, получим систему уравнений для вероятностей состояний

p(0)=q, где p=(p0,p1,…,pn) – вектор-строка вероятностей состояний. Эта система имеет стационарную точку, в которой =0 ; в стационарной точке дифференциальные уравнения переходят в линейные алгебраические: =0

Определитель этой системы равен нулю, поскольку сумма его столбцов равна нулю. Для любого Δt:

Поделив это на Δt и перейдя к пределу, получим:

Сумма столбцов ⋀ равна нулю. Поэтому одно из уравнений является следствием других. Заменив его на

Получим систему линейных алгебраических уравнений для стационарных вероятностей:

ИЛИ

С остояние в момент s

Состояние в момент u

С остояние в момент t

Перейдем к системе уравнений Чепмена-Колмогорова для непрерывных цепей Маркова:

Введем матрицу

Тогда: .

Матрица (единичная матрица)

.

Определим матрицу:

Матрица - предел матрицы при неограниченному уменьшении единичного временного интервала, а матрица - предел матрицы .

- инфинитезимальный оператор матричной функции переходов

– матрица интенсивности переходов.

Прямое уравнение может быть записано, как в виде систем уравнений для элементов входящих в него матриц.

Начальные условия:

В случае однородной непрерывной цепи Маркова:

Вероятности: