logo

Связь пуассоновского потока с экспоненциальным временем интервалов между соседними заявками.

Важнейшей характеристикой любого потока является закон рас­пределения интервала времени Т между двумя соседними событиями в потоке. Рассмотрим интегральный закон распределения F(t)=p(t>T), т.е. вероятность того, что случайная величина Т при­мет значение, меньшее чем t. Для этого необходимо определить ве­роятность того, что в интервал времени t, отсчитываемый от момента t0 появления некоторого события, попадет еще хотя бы одно событие. Эту вероятность можно определить, зная вероятность отсутствия событий в интервале t, равную вероятности p0(t) состояния S0 на графе рис.1.6, а. В соответствии с p0(t)=e-t

откуда следует F(t)=p(t>T)=1-e-t , t>0

Дифференцируя по времени, получим искомый закон распреде­ления

Закон распределения называется показательным (экспоненци­альным). Определим первые два момента показательного распределе­ния:

- математическое ожидание

- дисперсия

Интегрируя по частям, получим .

Из этого следует, что для показательного распределения математи­ческое ожидание и среднеквадратичное отклонение равны друг другу. Кроме того, в простейшем потоке среднее время между двумя соседними событиями равно обратной величине ин­тенсивности потока.

Определим теперь вероятность попадания одного события в простейшем потоке на элементарный участок временной оси. Так же, как и в предыдущем случае, эта вероятность

P1(t) = 1 – P0(t) = 1 - e-t .

Разлагая e-t в ряд по степеням t и ограничиваясь только первой степенью (в силу малости t), получим P1(t) = t

Выражение в правой части называется элементом вероятности появления события в простейшем потоке.

ИЛИ

– вероятность того, что время между соседними требованиями не превышает t.

– вероятность того, что в промежутке времени не поступит ни одного требования .

Пуассоновский процесс:

функция распределения

плотность распределения

Отсутствие последствий у показателей распределения.

  1.