7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
Построение разностной схемы состоит из последовательности стандартных шагов.
- Построение сетки в области определения искомого решения задачи.
- Замена в ДУ непрерывных производных их разностными аналогами.
- Замена всех функций соответствующими сеточными функциями, определенными в узлах
=>приходим к разностной схеме, представляющей дискретный аналог дифференциальной задачи и содержащей шаги сетки.
Решение разностной задачи сходится к решению дифф. задачи , если при шагах сетки, стремящихся к нулю , в пространстве сеточных функций.
Разностная схема имеет -й порядок аппроксимации по шагу h (или ), если при убывании шагов сетки погрешность аппроксимации стремиться к нулю как ().
Разность между дискретными и непрерывными производными принято называть погрешностью аппроксимации или ошибкой дискретизации дифференциального оператора на данной функции. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов может быть выражена путем разложения дифференцируемой функции в степенной ряд в окрестности фиксированного узла сетки (если возможно). Погрешность аппроксимации дискретной модели складывается из погрешностей аппроксимации каждого из ее элементов (погрешности аппроксимации производных, граничных условий, коэффициентов, функций и т.п.).
Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если погрешность аппроксимации данной разностной схемы на решении дифференциальной задачи стремиться к нулю при шагах сетки, стремящихся к нулю.
Следует подчеркнуть отличие понятий погрешности приближенного решения и погрешности аппроксимации задачи. Погрешность решения определяется разностью между точным решением и некоторым его приближением. Погрешность аппроксимации дискретной задачи выражает невязку, которая возникают при подстановке точного решения в уравнения дискретной задачи, характеризует величину возмущений, связанных с переходом от дифференциальной модели к дискретной.
Рассмотрим стандартную процедуру оценки порядка аппроксимации разностных схем, для дифференциального уравнения вида , - дифференциальный оператор, содержащий частные производные по всем независимым переменным. Разностную аппроксимацию данного уравнения можно представить в виде , , - сеточные представления дифференц-х операторов и функции правой части.
1)Изобразить шаблон, выбрать точку, относительно которой будем искать невязку. Если шаблон симметричен - относительно центра симметрии. Если несимметричен - в какой-то внутренней точке шаблона, отн-но которой имеет место хотя бы частичная симметрия.
2)Подставить точное решения в построенную схему, полагая, что в точке, относительно которой мы намерены вычислить невязку, значение решения известно, а во всех других точках шаблона зн-я данного реш-я выразить с помощью конечного числа ряда Тейлора.
3)Привести всё к виду.
4)Оценить порядок малости невязки относительно шагов сетки.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.