8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.
Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.
Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.
Сеточная область
Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh - конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤x≤1}. Разобьем этот отрезок точками xi=i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек xi=i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим ={xi=i∙h, i=0,n} , а число h - расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки.
Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками xi, i=0,n можно производить произвольным образом: 0<x1<…<xn-1<1. Тогда получаем сетку ={xi, i=0,n, x0=0, xn=1} c шагами hi=xi-xi-1, которые зависит от номера узла сетки. Если hi≠hi+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают ŵ. Точки x0 и xn назовем граничными узлами и обозначим их гh. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их wh. Узлы, соседние с граничащими, назовем приграничными. Тогда имеем =wh гh .
Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций
Функция y=y(xi) дискретного аргумента xi называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(xi)=y(i). Далее мы будем писать y(xi)=yi.
Сеточная область wh зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции yh(x) зависят от параметра h.
Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций yh(x) образует пространство Hh. Таким образом, в методе сеток пространство H заменяется на Hh сеточных функций yh(x).
Так как рассматривается множество сеток {wh}, то мы получаем множество {Hh} пространств сеточных функций, определенных на {wh}.
Пусть u(x) - решение исходной непрерывной задачи Lu(x)=f(x), (1)
; yh- решение разностной задачи, . Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и yh(x), но u(x) и yh(x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство Hh. Каждой функции ставится в соответствие сеточная функция yh(x), x wh, так что yh=Phu Hh, где Ph- линейный оператор из H в Hh. Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора Ph. Теперь, имея сеточную функцию uh, образуем разность yh-uh, которая является вектором пространства Hh.
Близость yh и uh характеризуется числом ||yh-uh||Hh , где ||.||Hh – норма на Hh.
Соответствие функций u(x) и uh можно установить различными способами, например,
uh=u(x), x wh. В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.
В линейном пространстве Hh введем норму ||.||Hh, которая является аналогом нормы ||.||Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве Hh так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие: Hh=H, (2)
где ||.||Н - норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.
Условие (2) называют условием согласования в пространствах Hh и Н.
Рассмотрим простейшие типы норм в Hh для случая сеток wh={xi=i∙h} на отрезке 0≤x≤1.
1. Норма Hh=
удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой H=, H=[a,b],
а сеточную функцию определять как yh(x)=uh(x), x wh
2. Норма Hh=
удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой H=u2(x)dx, H=C[a,b] ,
а сеточную функцию определять в виде yh=uh(x), x wh.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.