3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм

Для оценки погрешности (разности векторов точного и приближенного решений) используются различные нормы линейного векторного пространства. Напомним, что нормой вектора называется произвольный линейный положительно определенный функционал , который удовлетворяет трем аксиомам:

1. – положительная определенность;

2. , – линейность при умножении на скаляр;

3. – неравенство треугольника.

Векторные нормы, получившие наиболее широкое распространение в численном анализе:

– Евклидова норма (при соответ-м определении скалярного произведения);

– максимальная норма;

– энергетическая норма, порожденная положительно определенным самосопряженным оператором .

Т.к. для матриц определена операция умножения, то естественно добавить требовавание – аксиома мультипликативности матричной нормы.

Матричная норма называется согласованной, если (вектор в данном случае может трактоваться как матрица, имеющая размерность ). Для получения не улучшаемых оценок произведения матрицы на вектор используют нормы матриц, подчиненные соответствующим векторным нормам.

Определение. Норма матрицы , подчиненная векторной норме , определяется числом (1)

В случае квадратных матриц из определения подчиненной матричной нормы следует ее согласованность, мультипликативность и минимальность среди всех возможных согласованных норм. Подчиненные матричные нормы для приведенных выше основных векторных норм вычисляются следующим образом.

– матричная норма, подчиненная векторной Евклидовой норме, равна максимальному сингулярному числу матрицы. Сингулярные числа матрицы вычисляются как корень квадратный из совпадающих собственных значений матриц и. Для симметричной, положительно определенной матрицы сингулярные числа совпадают со спектром собственных значений данной матрицы.

. В качестве данной нормы выступает максимальное значение суммы абсолютных величин элементов строк матрицы.

Выбор конкретной нормы для получения оценок приближенного решения определяется в основном целью исследований и спецификой задачи. При этом следует иметь в виду, что нормы конечномерного линейного векторного пространства эквивалентны с точностью до постоянного множителя.

Норма эквивалентна норме если для любого элемента (вектора или матрицы) найдутся такие постоянные и , что выполняется неравенства .

Например, для норм и имеют место оценки , .