5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
Рассмотрим модельную задачу для системы уравнений
(1), где - произвольные комплексные числа.
Система ДУ (2) с матрицей - жесткая, если собственные числа матрицы A: , т.е. система асимптотически устойчива по Ляпунову, и, кроме того, число жёсткости s: (3)
В случае, когда система ДУ имеет стандартный вид , , для опр-я жесткости системы вместо A используется м-ца Якоби:
Т.к. матрица A, вообще говоря, зависит от решения задачи, то система уравнений может оказаться жесткой на интервале (ах), где собственные значения A обладают свойством (3).
Для модельной задачи (1) собственные числа совпадают с коэффициентами . Общая схема многошагового метода имеет вид , (4) или (5)
Разностное уравнение (5) является однородным и характеристические корни данного уравнения, вообще говоря, отличны от корней характеристического уравнения (6) в силу отличия коэфф-в уравнений. Однако, при достаточно малых значениях , корни характер-х многочленов (5) и (6) будут близки.
Таким образом, модельная задача позволяет заметить, что пр. ч. системы уравнений при грубых шагах сетки может оказать влияние на устойчивость разностной задачи => для жестких систем следует использовать такие численные схемы, для кот-х устойчивость разностной задачи не зависит от величины => устойчивость алгоритма не будет зависеть от выбора шага сетки. Область значений параметра , при которых выполняется условие корней (все корни хар-го многочлена лежат на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса и отсутствуют кратные корни, лежащие на единичной окружности) для разностного уравнения (5) называют областью устойчивости метода.
обеспечивает экспоненциальное затухание соответствующей компоненты вектора реш-я (аналит-е реш-е )
Компоненты, соответствующие большим отрицательным , затухают быстро, и спустя 5-10 шагов перестают сказываться на решении системы в целом. Однако шаг интегрирования должен всегда быть ориентирован на усл-е устойч-ти именно самой "быстрой" компоненты реш-я, ибо неудачный выбор шага может в корне изм-ть ее пов-е.
Опр-е. Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости сод-т левую полуплоскость комплексной плоскости, т.е. если он устойчив при .
Понятие А-устойчивости означает абсолютную устойчивость метода для дифференциальных задач, асимптотически устойчивых по Ляпунову.
Утверждение 1. Среди неявных линейных многошаговых методов отсутствуют А-устойчивые методы. имеющие порядок точности выше второго.
Утверждение 2. Не существует явных А-устойчивых численных методов.
Для численного решения жестких систем рекомендуется использовать метод Гира. Эти методы можно охарактеризовать как класс чисто неявных многошаговых методов (пр. часть системы учитывается в разностном ур-ии только в одном узле, текущем, в кот-м вычисл-ся зн-е неизвестного решения) вида (4), у которых .
Порядок локальной точности метода Гира совпадает с порядком разностного уравнения. Коэффициенты метода Гира находятся однозначно из системы уравнений
а коэффициент затем выражается следующим образом .
Эта система пол-ся при рассмотрении невязки разностного метода путем приравнивания к нулю членов одинакового порядка малости от нулевого до -го. Пр-р одношагового метода Гира – неявная схема Эйлера первого порядка точности
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.