21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.
Основной вопрос теории численных методов состоит в оценке точности приближенного решения задачи. Для разностных методов погрешность приближенного решения зависит от шага сетки h. Под сходимостью разностных схем понимают сходимость приближенного решения разностных уравнений к решению исходной дифференциальной задачи при . В случае неравномерных сеток сходимость разностного решения определяется при стремлении к нулю максимального шага сетки. Будем говорить, что скорость сходимости разностной схемы имеет порядок p, если разность точного и приближенного решений (погрешность приближенного решения) стремиться к нулю как .
При исследовании вопросов сходимости разностных методов естественно рассматривать сеточные функции точного и приближенного решений как элементы некоторого конечномерного векторного пространства, а оценки погрешности метода выражать в нормах рассматриваемого векторного пространства.
Итак, рассмотрим пространство сеточных функций , определенных на сетке
Наиболее широкое распространение в теории разностных схем получили следующие нормы сеточных функций (1) и (2)
Несложно заметить, что в пространстве сеточных функций, равных нулю в граничных точках сетки, нормы (1) и (2) связаны следующим соотношением
(3)
Утверждение 1. Для произвольных сеточных функций , , выполняется разностные аналоги формулы интегрирования по частям:
, (4) и (5), где
, , ,
Доказательство. (4) получается в результате выполнения следующих преобразований
К равенству (5) приводят следующие преобразования
Сл-м (4) является разностный аналог формулы Грина(6)
Очевидно, что в пространстве сеточных функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям, равенство (6) имеет вид (7)
Заметим, что в правой части (7) скалярное произведение представляет собой линейный функционал, удовлетворяющий аксиомам нормы: положительная определенность; линейность при умножении на скаляр; неравенство треугольника.
В силу этого наряду с нормами (1), (2) полезным иногда представляется использование нормы (8)
Утверждение 2. Для норм (1) и (8) справедлива следующая оценка (9)
Доказательство. Не нарушая общности, предположим, что максимум абсолютного значения сеточной функции достигается в k-том узле сетки. Воспользуемся тождеством (подставить вместо у с х с крышкой и выйдет)
Для оценки пр. части этого равенства используем неравенство Коши-Буняковского: , полагая . В результате приходим к
чтд.
Задачи:
1)Определить постоянные вложения векторных норм в пространстве . и
2)Доказать, что матрица , является симметричной.
Квадратная матрица является симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей
3)Как связан спектр (множество собственных значений) диагональной матрицы и значения ее диагональных элементов (сумма собственных значений равна спектру, но т.к. она диагональная, то диагональные элементы и есть собственные значения).
4)Доказать, что число обусловленности матрицы не меньше единицы
Матричная норма должна удовлетворять следующим четырем аксиомам:
А4. || AB || ≤ || A || * || B || для любых матриц A и B.
Из последней аксиомы видно, что норма определена только для квадратных матриц (хотя, в приведенных выше формулах для вычисления различных норм, в принципе, нет такого ограничения). Кроме того, из последней аксиомы следует, что любая норма единичной матрицы I не меньше единицы, действительно || I || = || I*I || ≤ || I ||2 ⇒ || I || ≥ 1.
Тогда, опять с привлечением четвертой аксиомы, получаем, что число обусловленности матрицы всегда больше единицы (верно для числа обусловленности матрицы по отношению к произвольной матричной норме) 1 ≤ || I || = || AA-1 || ≤ || A || || A-1 || = cond(A).
5)Показать, что при умножении имеет место тождество ,т.к.
6)Возможно ли с помощью степенного метода определить собственное значение действительной матрицы, если оно является комплексным? – нет. Будут одинаковые по модулю. Т.к. сопряжённый и комплексно сопряжённый.
1)Исследовать устойчивость по начальным данным чисто неявной схемы для уравнений теплопроводности: ,
Ищем частное решение разностной задачи в виде . Подставим его в разностную схему при : , откуда . Очевидно, что при любых допустимых значениях и постоянная не превосходит по абсолютной величине единицы => безусловно устойчива чисто неявная схема, что означает устойчивость при любых положительных .
2) Исследовать устойчивость трехслойной схемы
=> , где .
Отсюда видно, что для любых положительных и для всех отличных от нуля по крайней мере один из корней характеристического уравнения превосходит по модулю единицу, что указывает на отсутствие устойчивости дискретной модели при любых шагах сетки.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.