8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
Вычисление оптимального значения итерационного параметра при решении систем линейных алгебраических уравнений требует знания спектра матрицы системы. Определение границ спектра матрицы – непростая задача. Рассмотрим один способ оптимизации итерационного параметра, для которого не требуется симметричность матрицы системы и знание границ её спектра.
Для решения системы ЛАУ с положительно определенной матрицей используем итерационный метод (1)
В отличие от метода простой итерации в итерационном процессе (1) используется переменный итерационный параметр. Определим, каким должно быть значение итерационного параметра , чтобы норма погрешности для очередного итерационного приближения имела минимальное значение ()
Для погрешности итерационного метода (1) имеем (2)
Умножим скалярно уравнение (2) само на себя, предварительно умножив его слева на матрицу :
.
Условие минимума нормы погрешности определим из равенства нулю ее производной:
.
Из последнего равенства имеем .
Учитывая, что , получаем выражение для оптимального значения итерационного параметра , (3)
Таким образом, мы приходим к итерационному методу с оптимальным выбором итерационного параметра, обеспечивающего на каждой итерации минимальное значение нормы погрешности : (4)
Итерационный метод (4) называется метод минимальных невязок, поскольку и каждая итерация (4) соответствует нахождению следующего приближения, минимизирующего норму невязки .
Задача выбора оптимального набора итерационных параметров, обеспечивающих минимизацию погрешности решения после итераций, позволяет добиться лучших результатов в ускорении сходимости, нежели рассмотренная выше оптимизация итерационного параметра на каждом итерационном шаге в отдельности.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.