9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
порядка - квадратная невырожденная матрица .
Число называется собственным значением матрицы , если существует такой ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству (1)
Вектор , удовлетворяющий равенству (1), называется собственным вектором матрицы . Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.
Уравнение (1) имеет нетривиальные решения (2)
Функция - характеристический многочлен матрицы. Множество его корней совпадает со спектром.
Степенной метод: Пусть нужно найти макс. по модулю собственное значение , причем, искомое собственное значение простое. Пусть .
Заметим, что при умножении матрицы на ее собственный вектор последний преобразуется в коллинеарный вектор , причем длина полученного при этом вектора изменяется пропорционально соответствующему собственному значению . Данное свойство собственных векторов лежит в основе степенного метода. У матриц простой структуры система собственных векторов образует базис в , любой вектор может быть представлен: => в разложении по собственным векторам при умножении матрицы на вектор наибольший рост (наименьшее убывание) испытывает составляющая, соответствующая максимальному собственному значению. Рассмотрим последовательность (3)
Т.к., то при сходится к собственному вектору . Компоненты вектора , соответствующие другим собственным значениям стремятся к нулю со скоростью ГП. Скорость сходимости последовательности определяется отношением – знаменателем геометрической прогрессии самой медленной из компонент .
Заметим, что асимптотика определяется также значением , которое в пределе стремиться к нулю или бесконечности, в зависимости от => нужна нормировка промежуточных результатов. В качестве нормировочного коэффициента наиболее подходящий выбор – () => (4)
Использование итерационной процедуры (4) позволяет определить как собственный вектор, соответств-й макс собств. значению, так и величину собств. значения
, (5) . (6)
После того как наибольшее собственное значение определено, данный подход может быть использован для вычисление других собственных значений и собственных векторов.
Недостаток степенного метода: не может быть использован в случае, когда матрица имеет равные по модулю собственные значения. Итерационный процесс (4) в этом случае не сходится.
Есть возможность находить степенным методом комплексные характеристические числа и соответствующие инвариантные подпространства для вещественных матриц.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.