1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
Метод Эйлера: Рассмотрим задачу Коши для уравнения вида (1)
Представим решения отрезком степенного ряда, которое даёт точное решение (1):
, . (2)
Мы знаем решение в точке , а правая часть уравнения позволяет вычислить производную решения в данной точке. В итоге, полагая ограниченность второй производной решения на отрезке , имеем (3)
где, , .
Заметим, что (3) также дает точное решения в точке . Но мы не можем использовать его в практических расчетах, т.к. для этого требуется значение второй производной от решения, содержащейся в члене (не знаем о ней) и не знаем точное положение точки, в которой требуется вычислить данную производную. Так что пренебрегаем данным членом, учитывая, что при ограниченной второй производной величина данного члена стремиться к нулю при => приходим к схеме Эйлера, позволяющей найти приближенно шаг за шагом решение задачи Коши (4)
Используя формулу Эйлера (4) мы можем последовательно найти приближенно решение задачи Коши на некотором множестве точек, соответствующих значениям независимой переменной (5) – сетка.
Отдельные точки сетки называют узлами. Шагом сетки называется расстояние между соседними узлами . Если все шаги сетки одинаковы, то сетка называется равномерной (однородной). Множество значений функции, определяемых в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сеточные функции не обязательно являются результатом приближенного (численного) решения дифференциальной задачи. Точное решение задачи, например, если оно может быть выражено в виде элементарных или специальных функции, также может быть представлено в виде набора значений данной функции в узлах сетки, т.е. в виде сеточной функции.
Сеточные функции могут рассматриваться как некоторые векторы конечной размерности. Для сравнения сеточных функций и оценок их близости естественно воспользоваться аппаратом функционального анализа, рассматривая их как элементы некоторого линейного векторного пространства с определенной нормой.
ТЕОРЕМА 1. Метод Эйлера (4) имеет первый порядок аппроксимации на решении задачи Коши (1) с функцией , удовлетворяющей условиям
,
и для глобальной погрешности приближенного решения справедлива оценка
Если приближенное решение в новом узле сетки вычисляется с использованием информации только в одном предыдущем узле сетки, то методы такого типа принято называть одношаговыми.
Многошаговые методы, если приближенное решение в произвольном -том узле сетки вычисляется с использованием значений приближенного решения в предыдущих узлах сетки.
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.