2.1.11. Бином Ньютона

В школе изучают формулы сокращенного умножения:

Бином Ньютона позволяет продолжить этот ряд формул. Раскроем скобки в следующем выражении:

Общий член суммы будет иметь вид Чему равен коэффициентC? Он равен количеству способов, которыми можно получить слагаемое(т.е. количеству способов, которыми можно выбратьkскобок с множителемa, а из остальныхскобок взять множительb). Например, еслито слагаемоеможем получить, выбрав множительaиз первой и пятой скобки. Каков тип выборки? Порядок перечисления не важен (выбираем сначала первую, затем пятую скобки, или, наоборот, сначала пятую, затем первую – безразлично), повторяющихся элементов (одинаковых номеров скобок) в выборке нет. Это сочетание без повторений. Количество таких выборок равно

Таким образом, формула бинома для произвольного натурального nимеет вид:

или

.

Пример. Приполучим формулу

т.к.

Проверьте правильность формулы, перемножив на.

Строгое доказательство формулы бинома Ньютона проводится методом математической индукции.