2.2.3. Изоморфизм групп

Определение. Группы иназываютсяизоморфными, если существует биекция , сохраняющая групповую операцию, т.е.

для всех .

Пример. Пусть - группа преобразований правильного треугольника в себя, где- тождественное преобразо-вание,- поворот вокруг точкиO на 120, - поворот вокруг точкиO на 240, - отражение относительно осей симметрииI, II, III соответственно (рис. 2.3).

2

IIII

1 3

II

Рис. 2.3. Преобразование правильного треугольника

В качестве группы рассмотрим группу подстановок на множествевершин треугольника , где

, ,,

, ,.

Легко убедиться, что биекция группына группуявляетсяизоморфизмом.

Будем называть порядком конечной группы количество ее элементов.

Теорема (Кэли). Всякая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок .

Доказательство. Пусть произвольная подгруппа порядкаn. Обозначим группу подстановок на множестве. Зафиксируем произвольный элементи рассмотрим отображениетакое, чтодля любого. Очевидно, образы различных элементовx и y, принадлежащих , различны и, следовательно, множество значений. Действительно, предположим, чтопри. Тогда.

Значит, отображение является подстановкой на множестве, причем,,, т.е. множествообразует подгруппу группы. При этом

.

Следовательно, отображение такое, чтоявляется изоморфизмом, т.к..

Задача. Найти группу подстановок, изоморфную группе поворотов правильного восьмиугольника на плоскости.

Решение задачи провести самостоятельно.