2.1.12. Свойства биномиальных коэффициентов

Биномиальными коэффициентами являются величины

,

которые выражают число сочетаний из nэлементов поk. Эти величины обладают следующими свойствами.

Свойство симметрии.

.

В формуле бинома это означает, что коэффициенты, стоящие на одинаковых местах от левого и правого концов формулы, равны, например:

Действительно, - это количество подмножеств, содержащихkэлементов, множества, содержащегоnэлементов. А- количество дополнительных к ним подмножеств. Сколько подмножеств, столько и дополнений.

Свойство Паскаля.

Пусть . Число- это количество подмножеств из k элементов множестваX. Разделим все подмножества на два класса:

1) подмножества, не содержащие элемент , - их будет;

2) подмножества, содержащие элемент , - их будет.

Т.к. эти классы не пересекаются, то по правилу суммы количество всех k-элементных подмножеств множестваXбудет равно

На этом свойстве основано построение треугольника Паскаля (рис. 2.2), в n-ой строке которого стоят коэффициенты разложения бинома.

Свойство суммы.

Подставим в формулу бинома Ньютона

значения . Получим

Заметим, что с точки зрения теории множеств сумма выражает количество всех подмножествn-элементного множества. По теореме о мощности булеана (см. 1.4.4) это количество равно.

Свойство разности.

Положим в формуле бинома Ньютона . Получим в левой части, а в правой – биномиальные коэффициенты с чередующимися знаками, что и доказывает свойство.

Последнее свойство удобнее записать, перенеся все коэффициенты с отрицательными знаками в левую часть формулы:

тогда свойство легко запоминается в словесной формулировке: “ сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна сумме биномиальных коэффициентов с четными номерами”.

Задача. Найти член разложения биномане содержащийx, если сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна 512.

Решение. По свойству разности сумма биномиальных коэффициентов с четными номерами также равна 512, значит, сумма всех коэффициентов равна 512+512=1024. Но по свойству суммы это число равно. Поэтому. Запишем общий член разложения бинома и преобразуем его:

при получим:

Член разложения не содержитx, если , т.е.. Итак, девятый член разложения не содержит xи равен

Свойство максимума. Если степень биномаn– четное число, то среди биномиальных коэффициентов есть один максимальный при. Если степень бинома нечетное число, то максимальное значение достигается для двух биномиальных коэффициентов прии

Так, при максимальным является коэффициент, а примаксимальное значение равно(рис. 2.2).