2.2.4. Самосовмещения фигур

Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.

Мы уже познакомились с одной из простейших групп самосовмещений, а именно с группой поворотов правильного треугольника на плоскости и показали, что она изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок . Аналогичным образом можно построить группы самосовмещений других геометрических фигур и показать их изоморфизм с подгруппой группы.

Задача. Построить группу симметрий квадрата.

Решение. Занумеруем вершины квадрата и оси симметрий (рис. 2.4). Обозначим O – центр симметрии квадрата.

В группу самосовмещений войдет тождественное перемещение – поворот вокруг точки O на 0; повороты вокруг этой точки на 90, на 180 и на 270; повороты относительно четырех осей симметрии. Итого, получаем восемь элементов группы симметрий.

Тождественное перемещение описывает тождественная подстановка . Вращения на 90, на 180 и на 270 - подстановки ,исоответственно.

Поворот относительно оси I описывает подстановка ; относительно осиII – подстановка ; осиIII - ; осиIV - .

Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:

S₈ =

.