Лекции_по_ДМ

Операции над образами и прообразами отображений и их свойства

Поскольку образы и прообразы отображений являются множествами, то над ними определены все множественные операции: объединение, пересечение, абсолютное и относительное дополнение. Все ранее перечисленные свойства этих операций остаются в силе и для этого случая. Кроме того, имеют место следующие свойства:

Пусть f :  и А₁, А₂ А и В₁, В₂ В. Тогда:

1) f(A₁∪A₂) = f(A₁)∪f(A₂).

2) f ^-1(B₁∪B₂) = f ^-1(B₁)∪f ^-1(B₂).

3) f(A₁∩A₂) ⊆ f(A₁)∩f(A₂). Для подтверждения этого свойства рассмотрим А₁={(x,y): x=y} и A₂={(x,y): y=x+1} – две параллельные прямые на плоскости. Пусть f : ℝ² ℝ – проекция на ось х. Тогда f(A₁) = ℝ и f(A₂) = ℝ и f(A₁)∩f(A₂) = ℝ ; но A₁∩A₂=  и f(A₁∩A₂) =, т.к. проекция пустого множества есть множество пустое, т.о. ⊆ℝ.

4) f ^-1(B₁∩B₂) = f ^-1(B₁) ∩ f ^-1(B₂).

5) f(A₁) \ f(A₂) ⊆ f(A₁\ A₂) . В подтверждение рассмотрим тот же пример, что и пункте 3. f(A₁) \ f(A₂) = ℝ \ ℝ = и A₁\ A₂= A₁ => f(A₁\ A₂) = ℝ. Таким образом, ⊆ℝ.

6) f ^-1(B₁) \ f ^-1(B₂) = f ^-1(B₁\B₂).

7) Если A₁⊆ A₂ => f(A₁) ⊆ f(A₂) и если В₁⊆ В₂ => f ^-1(B₁) ⊆ f ^-1(B₂).

8) (f ^-1◦ f)(A) ⊆ А и (f ◦f ^–1)(В) = В∩ f(A).

9) В∩ f(A)= f (A ∩ f ^–1(В)). Действительно, т.к. В∩ f(A) = (f ◦f ^–1)(В), то по свойству композиции (f ◦f ^‑1)(В)= f (f ^‑1(В)), и т.к. f ^‑1(В) ⊆ А, то f ^‑1(В)= A ∩ f^‑1(В) => f (f ^‑1(В))= f (A ∩ f ^–1(В))= В∩ f(A).

Заметим, что если f – взаимно-однозначное отображение, то в пунктах 3, 5 и 8 имеет место равенство.

Содержание