Способы задания действий

1) Указать закон (формулу), выделяющий те пары элементов из А, для которых определен результат, и то, как строится результат для каждой такой пары, т.е. z = φ(x, y).

2) Непосредственно перечислить все результаты действия. Наиболее удобным представлением в таком случае является так называемая таблица Кэли (таблица умножения при мультипликативной записи). Слева и сверху этой прямоугольной таблицы выписываются все элементы множества, а на пересечении строк и столбцов – результат действия над соответствующими элементами или знак «–», если результат не определен. Теоретически такая таблица может быть построена для любого множества, конечного и даже бесконечного, практически рассматриваются только конечные множества и конечные таблицы.

Пусть на множестве А задано действие «_», и В А. Тогда В называется замкнутым по отношению к действию, если для любых элементов x, y  В  x_yВ.

Например, рассмотрим действия сложения и вычитания на множестве целых чисел, т.е. ( ℤ, + ) и ( ℤ, – ), и множество натуральных чисел ℕ ℤ. Тогда ℕ замкнуто по отношению к сложению и не замкнуто по отношению к вычитанию, поскольку не для любых пар натуральных чисел x и y результат (x‑y)ℕ.

Пусть имеются множества с действиями: ( А, ○) и ( В, ◊). Множества А и В называются изоморфными относительно действий «○» и «◊», если существует биективное отображение f : А  В такое, что для любых элементов а₁ и а₂ из А и соответствующих им элементов b₁ и b₂ из В, где b₁= f(а₁) и b₂= f(а₂), результат (а₁○ а₂) определен, т.е. А, тогда и только тогда, когда результат (b₁◊ b₂)В и при этом f(а₁○ а₂)= (b₁◊ b₂), т.е. результаты также соответствуют друг другу.

Смысл и значение понятия изоморфизма заключаются в том, что изоморфные множества с действиями являются одинаковыми относительно этих действий. Если в таблице Кэли одного из них элементы расположены в том же порядке, в каком расположены соответствующие им элементы второго, то таблицы Кэли обоих множеств окажутся совпадающими с точностью до обозначения элементов. Это означает, что действия в изоморфных множествах, по–существу, совершенно одинаковы.

Примеры:

1) А={ 2, 3, 4, 5 } и В={ 2, 4, 5, 10 }. Рассмотрим (А, +) и (В, ) со следующими таблицами Кэли:

2) Рассмотрим множество натуральных чисел со сложением: (ℕ, +) и множество всех отрицательных четных целых чисел со сложением: (М, +), где М={ x: xℤ.^<0 и x mod 2=0 }. Покажем, что они изоморфны относительно действий. Действительно, биекция f : ℕ  М, заданная законом f(x)= ‑2x, устанавливает этот изоморфизм. Т.к. для любых двух натуральных чисел x и y  f(x+y)=f(x)+f(y), поскольку –2(x+y)=(–2x)+(–2y).

3) Рассмотрим множество положительных вещественных чисел с умножением ( ℝ^>0, ) и множество всех вещественных чисел со сложением ( ℝ, +). Тогда изоморфизм устанавливается законом f(x)=ln(x), т.к. по свойствам логарифма ln(xy)=ln(x)+ln(y) для любых x, yℝ^>0.

4) Рассмотрим (ℕ, +) и ( S, ), где S={ 2¹, 2², 2³, 2⁴, … }. Множества изоморфны относительно действий, т.к. для любых пар натуральных чисел x, y и соответствующих им 2^x и 2^y S  2^x+y=2^x2^y.

5) (ℕ, +) неизоморфно (ℤ, +), т.к. в множестве целых чисел имеется элемент х=0, для которого выполняется х+х=х. В множестве натуральных чисел элементов с таким свойством нет.

Ввиду одинаковости действий для изоморфных множеств (в рассмотренном выше смысле) можно отвлечься от природы элементов, составляющих эти множества, и рассматривать их как одну алгебраическую систему, изучая сами действия и их свойства.

Замечания:

1. Свойства действий при изоморфизме сохраняются. Т.е. если действие «○» в множестве А было дистрибутивным, то и действие «◊» в изоморфном множестве В также дистрибутивно.

2. Понятие изоморфизма очевидным образом распространяется на алгебраические системы с несколькими действиями. Две универсальные алгебры (А, Ω) и (В, Ω¹), где А и В – множества, а Ω и Ω¹ – сигнатуры, изоморфны относительно своих сигнатур, если А и В изоморфны относительно каждой пары действий ⁱ и ⁱ из Ω и Ω¹ соответственно.

3. Если каждое из двух множеств с действиями изоморфны некоторому третьему множеству с действиями, то первые два изоморфны между собой относительно соответствующих действий.

Общая теория алгебраических действий распадается на ряд теорий, изучающих множества с тем или иным количеством действий, обладающих теми или иными свойствами (теория групп, полей, колец, алгебры Ли, булева алгебра, теория графов и т.д.).