7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- квадратная невырожденная матрица. Число -собственное значение , если существует такой ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству (1). Сов-ть всех собственных значений - спектр. Вектор , удовлетворяющий (1) - собственный вектор . Уравнение (1) имеет нетривиальные решения (2)
Функция - характеристический многочлен матрицы. Множество его корней совпадает со спектром.
Прямой метод вычисления собственных значений:
В прямом методе получают хар-е ур-е в аналитическом виде или определяют алгоритм выч-я коэфф-в уравнения, потом решают это ур-е одним из численных методов.
det(A-λE) = D(λ ) может быть представлен в виде D(λ ) =
- сумма всех диагональных миноров первого порядка матрицы А.
- cумма всех диагональных миноров второго порядка.
. Вычислив , находим корни полинома одним из численных методов.
Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или блочно-диагональному виду. Поскольку преобразование подобия не меняет спектр матрицы, то применение такого рода преобразований во многих случаях приводит к решению полной проблемы собственных значений. Наиболее эффективны преобразования подобия в случае симметричных матриц.
Однако во многих случаях достаточно предположить, что среди собственных значений матрицы отсутствуют кратные. В этом случае существует преобразование подобие, приводящее матрицу к диагональному виду.
Способ построения преобразования подобия: исп-е элем-х матриц плоских вращений :
(3)
Матрица (для определенности пусть ) отличается от единичной матрицы только элементами и . - ортогональные => - преобразование плоских вращений, является преобразованием подобия. При умножении матрицы слева (справа) на новая матрица отличается от исходной лишь эл-ми строк с номерами и (столбцами). Полагая , рассмотрим произведения:
: ,
: .
Определим угол вращения таким образом, чтобы . .
Используя тригонометрические тождества, имеем:
, . (4)
При выбранном угле поворота в результате преобразования уменьшается общая сумма квадратов недиагональных элементов результирующей матрицы. Многократное применение такого рода преобразования с матрицами вращения : на текущем шаге , приводит к сходимости последовательности матриц , к матрице диагонального вида, при этом на диагонали новой матрицы будут находиться приближенные значения собственных чисел исходной матрицы .
Метод Данилевского: Большая погрешность, но большая скорость получения результата.
Метод основан на известном факте из линейной алгебры о том, что преобразование подобия не меняет характеристического многочлена матрицы , т.к.
.
(=> при записи характер-го уравнения на него сокращаем).
Приводим матрицу с помощью преобразования подобия к так называемой канонической форме Фробениуса:
Для матрицы характеристический многочлен может быть легко записан, если последовательно разлагать определитель по элементам первого столбца =>
=> элементы 1-й строки являются коэффициентами её собственного многочлена => собственного многочлена матрицы . и связаны между собой:
Решив полученное уравнение, находим собственные значения матрицы . Далее, неособенная матрица , полученная в методе Данилевского, используется при нахождении собственных векторов матрицы .
Построение матрицы в методе Данилевского осуществляется последовательно с помощью преобразований подобия, которые переводят строки матрицы , начиная с последней, в соответствующие строки матрицы .
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.