47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
Нормальную систему диф. ур-ий (1) можно переписать в другом виде:
Чтобы сделать переменные равноправными будем обозначать их через и рассмотрим систему:
(2)
Это симметричная форма системы (1). Если считать xn независимой переменой, то придем к системе:
(3)
Таким образом, система (3) – нормальная система (n-1)-го порядка. В записи (3) полагают, что . Если в некоторой точке , то такая точка называется особой точкой. Будем полагать, что . И потребуем, чтобы все функции были непрерывно дифференцируемы по всем аргументам в некоторой области G и одновременно не обращались в нуль. При этих условиях система (3) имеет решения, непрерывно дифференцируемые по начальным условиям, и существуют первые интегралы. Если – первый интеграл системы, который непрерывно дифференцируем по всем аргументам и:
,
то справедливо необходимое и достаточное условие
Применим его для системы (3):
Умножая это уравнение на в итоге получим:
(4)
Это и есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция была первым интегралом системы (2). Условие (4) можно записать в компактной форме, если ввести векторы:
Тогда (4) примет вид:
Опр. Интегрируемой комбинацией называют диф. ур-е, которое является следствием системы, но при этом легко интегрируется
Используем известный алгебраический результат. Пусть справедливы равенства:
Зададимся произвольными числами k1,…, kn. Тогда:
Это свойство применяется для отыскания интегрируемых комбинаций и получения первых интегралов системы(2).
57. Вид фундаментальной системы решений в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратна корни: а) ранг характеристической матрицы г имеет наименьшее значение (r=n-m, m - кратность корня), б) m >n-m.
Пусть среди корней характеристического уравнения есть кратные. предположим, например, что корень имеет кратность m. Тогда характеристический многочлен представим в виде:
(2)
причём . Из равенства (2) следует, что
Как было показано, является суммой главных миноров (n-1)-ого порядка матрицы . Аналогично есть сумма миноров (n-2)-ого порядка той же матрицы и т.д. Выражение для представляет собой сумму главных миноров матрицы . Эта сумма отлична от нуля, поэтому хотя бы один из миноров (n-m)-ого порядка также не равен нулю. Следовательно ранг матрицы : r≥n-m. Ранг достигает минимального значения r=n-m, когда все главные миноры матрицы порядка (n-m+1) обращаются в нуль. В общем случае границы изменения ранга матрицы таковы: n-m≤r≤n-1.
Таким образом система уравнений для определения собственного вектора , отвечающего собственному значению ,
имеет r независимых уравнений, а остальные (n-r) уравнений являются их следствиями. Это означает, что (n-r) компонент собственного вектора могут быть произвольными, а остальные r компонент являются их линейными комбинациями. Положим , где ci – произвольные постоянные, а
В результате придём к системе решений
Из этих решений можно получить n-r линейно независимых. Положим , тогда
Затем находим второе решение:
И т.д. Последнее решение получаем при подстановке
Для того, чтобы убедиться в линейной зависимости решений выпишем матрицу коэффициентов:
Ранг этой матрицы, имеющей размеры n x (n-r), равен (n-r), поскольку есть минор (n-r)-ого порядка, отличный от нуля. Отсюда и следует линейная независимость (n-r) построенных решений/
Если ранг матрицы имеет наименьшее значение r=n-m, то число линейно независимых решений равно n-r=m – кратность корня . А это нам и нужно для построения фундаментальной системы решений.
Если же ранг матрицы , то число построенных линейно независимых решений n-r<m. В этом случае решение системы ищут в виде :
(3)
где Pi(x) – многочлен степени m-(n-r). Заметим, что если ранг матрицы достигает своего максимального значения r=n-1, то входящий в (3) многочлен имеет степень m-1.
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.