ekamen_matematika2003
13.Поняття квадратичної форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра.
Квадратичною формою від змінних називають однорідний многочлен парних добутків цих змінних з відповідними коефіцієнтами. Це означає, що кожен член квадратичної форми містить або квадрат однієї із змінних, або добуток двох різних змінних (див. далі)[11].
Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:
Квадратична форма наз. додатньо визначеною, якщо при будь-яких дійсних значеннях цих невідомих , хоча б одне відмінне від 0, ця форма набуває додатних значень. Треба, щоб всі кутові мінори були додатними. Щоб була від'ємн. треба, щоб знаки кутових мінорів чергув, почин. з “-“.
Критерій Сильвестра визначає чи є квадратна матриця додатньоозначеною (від'ємноозначеною). Названий за іменем англійського математика Джеймса Джозефа Сильвестра.
Якщо квадратична форма в деякому базисі має матрицю .
.
Квадратична форма є додатньовизначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
Квадратичная форма є від'ємновизначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому .
Доведення критерія Сільвестра базується на методі Якобі приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
Содержание
- 2.Визначники n-го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення визначника. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця(теорема Лапласа)
- (Розклад за елементами першого рядка); (розклад за елементами другого стовпця).
- Алгоритм знаходження оберненої матриці.
- Властивості оберненої матриці.
- 5.Поняття про систему n-лінійних алгебраїчних рівнянь з m невідомими. Умови сумісності і визначеності слар.
- 6.Розв*язування слар. Метод оберненої матриці.
- Точні методи
- 7.Розв*язування слар. Формули Крамера .
- Міжгалузевий баланс
- Модель Леонтьєва
- 11.Лінійна модель міжнародної торгівлі
- 13.Поняття квадратичної форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра.
- 14.Поняття канонічного і нормального вигляду квадратичної форми. Методи зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- 15.Дії над векторами в геометричній формі(додавання векторів та множення вектора на число)
- 16.Лінійна залежність векторів. Теореми про лінійну залежність системи векторів.
- 17.Базис. Розклад вектора за базисом. Ортогональна система векторів.
- Для будь якого вектора (рівність Персеваля)
- Для довільної пари векторів та
- 18.Координати вектора на площині та у просторі.
- 19.Скалярний лобуток векторів, його властивості,геометричний та механічний зміст.
- Властивості
- 21.Мішаний добуток векторів та його властивості
- 22. Пряма, як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої на площині. Дослідження неповного рівняння прямої на площині.
- 23.Параметричні і канонічні рівняння прямої. Параметричне рівняння прямої на площині
- Канонічне рівняння прямої на площині
- 24.Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках на осях.
- 25.Рівння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих.
- 26.Нормальне рівняння прямої. Відстаня від точки до прямої. Нормальне рівняння прямої
- 27.Загальне р-ня площини:
- 28.Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Рівняння площини у відрізках на осях. Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій
- 29.Кут між двома площинами. Умова паралельності і перпендикулярності двох площин.
- 30.Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.
- 31.Параметричні і канонічні рівняння прямої у просторі. Рівняння прямої ,що проходить через дві точки.
- 32 . Кут між прямими . Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. .
- 34.Криві другого порядку. Рівняння кола.
- 35. Еліпс. Вивід канонічного рівняння еліпса, ексцентриситет та директриси еліпса.
- Директриса та ексцентриситет
- 36. Гіпербола . Вивід канонічного рівняня гіперболи, ексцентриситет , директриси та асимптоти гіперболи. Найпростіші властивості гіперболи
- 37. Парабола. Вивід канонічного рівняння.
- 38.Числова послідовність. Означення границі послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами.
- 39.Означення границі функції. Односторонні границі. Леми про нескінченно малі величини.
- Односторонні границі. Ліва та права границя функції
- 40. Арифметичні дії над функціями , що мають скінченні границі. Важливі границі.
- 41.Неперевність функції. Арифметичні дії над неперервними функціями. Класифікація розривів функції.
- 2) Неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.
- 42. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій.
- 43. Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Геометричний механічний та економічний зміст похідної.
- 44. Похідні елементарних функцій. Похідна оберненої функції. Таблиця похідних.
- 46. Означення диференціала
- 48. Похідні вищих порядків. Формула Тейлора
- 52. Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема графіка функції.
- 54. Частинний і повний приріст ф-ції двох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал
- 55. Похідні вищих порядків.Теорема про рівність мішаних похідних. Диф вищих порядків.
- 56. Необхідні та достатні умови екстремуму функції багатьох змінних
- 57. Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.
- 58. Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Властивості первісних.
- Теорема про множину первісних
- Де f(X) – підінтегральна ф-ія; f(X)dx – підінтегральний вираз; dx – диференціал змінної інтегрування.
- Метод інтегрування частинами
- 61. Інтегрування правильних дробів. Інтегрування раціональних дробів.
- 2) Складна ф-ція f(t)) – визначена і неперервна на відрізку [;], то справедлива формула:
- 63.Задачі, що приводять до поняття про визначений інтеграл. Інтегральні суми Умови існування визначеного інтегралу.
- 64.Властивості визначеного інтегралу. Обчислення визначеного інтегралу. Формула Ньютона - Лейбніца .
- 67.Поняття про диф. Р-ння та його розв язки Диф. Рівняння першого порядку. Загальний розвязок і загальний інтеграл рівняння першого порядку. Задача Коші .Частковий розвязок диф. Рівняння.
- 69.Однорідні відносно змінних диф рівняння першого порядку.
- 72.Лінійні диф рівняння другого порядку.
- 76.Числовий ряд та його збіжність. Необхідна умова збіжності ряду. Ряди з додатними членами. Теорема порівняння рядів.
- 1) Ознака порівняння рядів.
- 79.Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервали збіжності степеневого ряду.