38.Числова послідовність. Означення границі послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами.
Числова́ послідо́вність — послідовність (математика) дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число . Число називають елементом або членом послідовності.
У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу.Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.
Границя числової послідовності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення:
Дійсне число a називається границею числової послідовності , якщо [1]
Позначення: або
Змінна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .
Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами α,β,γ.
Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, починаюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додатного числа N, тобто >N.
Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то — нескінченно мала, і навпаки, якщо у — нескінченно мала і у 0, то буде нескінченно великою величиною.
Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.
Ділення нескінченно малих тa нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.
- 2.Визначники n-го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення визначника. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця(теорема Лапласа)
- (Розклад за елементами першого рядка); (розклад за елементами другого стовпця).
- Алгоритм знаходження оберненої матриці.
- Властивості оберненої матриці.
- 5.Поняття про систему n-лінійних алгебраїчних рівнянь з m невідомими. Умови сумісності і визначеності слар.
- 6.Розв*язування слар. Метод оберненої матриці.
- Точні методи
- 7.Розв*язування слар. Формули Крамера .
- Міжгалузевий баланс
- Модель Леонтьєва
- 11.Лінійна модель міжнародної торгівлі
- 13.Поняття квадратичної форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра.
- 14.Поняття канонічного і нормального вигляду квадратичної форми. Методи зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- 15.Дії над векторами в геометричній формі(додавання векторів та множення вектора на число)
- 16.Лінійна залежність векторів. Теореми про лінійну залежність системи векторів.
- 17.Базис. Розклад вектора за базисом. Ортогональна система векторів.
- Для будь якого вектора (рівність Персеваля)
- Для довільної пари векторів та
- 18.Координати вектора на площині та у просторі.
- 19.Скалярний лобуток векторів, його властивості,геометричний та механічний зміст.
- Властивості
- 21.Мішаний добуток векторів та його властивості
- 22. Пряма, як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої на площині. Дослідження неповного рівняння прямої на площині.
- 23.Параметричні і канонічні рівняння прямої. Параметричне рівняння прямої на площині
- Канонічне рівняння прямої на площині
- 24.Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках на осях.
- 25.Рівння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих.
- 26.Нормальне рівняння прямої. Відстаня від точки до прямої. Нормальне рівняння прямої
- 27.Загальне р-ня площини:
- 28.Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Рівняння площини у відрізках на осях. Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій
- 29.Кут між двома площинами. Умова паралельності і перпендикулярності двох площин.
- 30.Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.
- 31.Параметричні і канонічні рівняння прямої у просторі. Рівняння прямої ,що проходить через дві точки.
- 32 . Кут між прямими . Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. .
- 34.Криві другого порядку. Рівняння кола.
- 35. Еліпс. Вивід канонічного рівняння еліпса, ексцентриситет та директриси еліпса.
- Директриса та ексцентриситет
- 36. Гіпербола . Вивід канонічного рівняня гіперболи, ексцентриситет , директриси та асимптоти гіперболи. Найпростіші властивості гіперболи
- 37. Парабола. Вивід канонічного рівняння.
- 38.Числова послідовність. Означення границі послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами.
- 39.Означення границі функції. Односторонні границі. Леми про нескінченно малі величини.
- Односторонні границі. Ліва та права границя функції
- 40. Арифметичні дії над функціями , що мають скінченні границі. Важливі границі.
- 41.Неперевність функції. Арифметичні дії над неперервними функціями. Класифікація розривів функції.
- 2) Неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.
- 42. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій.
- 43. Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Геометричний механічний та економічний зміст похідної.
- 44. Похідні елементарних функцій. Похідна оберненої функції. Таблиця похідних.
- 46. Означення диференціала
- 48. Похідні вищих порядків. Формула Тейлора
- 52. Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема графіка функції.
- 54. Частинний і повний приріст ф-ції двох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал
- 55. Похідні вищих порядків.Теорема про рівність мішаних похідних. Диф вищих порядків.
- 56. Необхідні та достатні умови екстремуму функції багатьох змінних
- 57. Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.
- 58. Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Властивості первісних.
- Теорема про множину первісних
- Де f(X) – підінтегральна ф-ія; f(X)dx – підінтегральний вираз; dx – диференціал змінної інтегрування.
- Метод інтегрування частинами
- 61. Інтегрування правильних дробів. Інтегрування раціональних дробів.
- 2) Складна ф-ція f(t)) – визначена і неперервна на відрізку [;], то справедлива формула:
- 63.Задачі, що приводять до поняття про визначений інтеграл. Інтегральні суми Умови існування визначеного інтегралу.
- 64.Властивості визначеного інтегралу. Обчислення визначеного інтегралу. Формула Ньютона - Лейбніца .
- 67.Поняття про диф. Р-ння та його розв язки Диф. Рівняння першого порядку. Загальний розвязок і загальний інтеграл рівняння першого порядку. Задача Коші .Частковий розвязок диф. Рівняння.
- 69.Однорідні відносно змінних диф рівняння першого порядку.
- 72.Лінійні диф рівняння другого порядку.
- 76.Числовий ряд та його збіжність. Необхідна умова збіжності ряду. Ряди з додатними членами. Теорема порівняння рядів.
- 1) Ознака порівняння рядів.
- 79.Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервали збіжності степеневого ряду.