21. Ортогонализация системы векторов.

Рассмотрим базис пространства R", в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

ē1, ē2, ..., ēn; ējēi=0, i≠j; i, j = 1,2,...,n.

Ортогональные базисы известны и хорошо представимы на плоскости и в пространстве. Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, без применения трудоемких вычислений.1.2. Матрицы 19

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора b в ортогональном базисе (1.15). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

_

b=a1ē1+a2ē+...+anēn

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор е,. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

_

bē, = α1(ē1ēi)+α2(ē2ēi)+...+αi(ēiēi)+αn(ēnēi)

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (1.15) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением г'-го, равны нулю, т. е. коэффициенты а, определяется по формуле

_ _

α1=(bēi)/(ēiēi)=(bēi)/|ēi|^2; i=1, 2, ..., n

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (1.15) имеют единичную длину (|ё,. | =1) или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортопормированным и координаты разложения (1.17) имеют наиболее простой вид:

_

α1= bēi, i=1, 2, ..., n