7.Операции над определителями

Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем n-го порядка этой матрицы.

Основные свойства определителей

Из данного ранее общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем А„ = -Д„, откуда и следует, что А„ = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Д„ представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это свойство на примере определителя 3-го порядка:

Δ3=| a11 a12 a13 | =Δ'3 + Δ*3=|a11 a12 a13| + |a11 a12 a13|

|a'21+a*21 a'22+a*22 a'23+a*23| |a'21 a'22 a'23| |a*21 a*22 a*23|

| a31 a32 a33 | |a31 a32 a33| |a31 a32 a33|

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. Это свойство является следствием свойств 3—5.

7. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Из перечисленых свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

8. определители второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

:

А=(а11 а12

а21 а22)

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

:

Δ2=|a11 a12|=a11a22-a12a21

|a21 a22|

Формула представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А из разных строк

и столбцов.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Δ3=|a11 a12 a13|=a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33

|a21 a22 a23|

|a31 a32 a33|

Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов.

Рассмотрим определитель n-го порядка

Δn=|

|a11 a12 … a1n|

|a21 a22 … a2n|

|........................|

|am1 am2 … amn|

Определение 17. Определителем матрицы А п-го порядка называется алгебраическая сумма п! произведений п-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу

из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.