2. Операции над векторами

Пусть векторы а и b (1.3) принадлежат n-мерному векторному пространству R". Будем называть суммой векторов а и b вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

с = а + b = ( а1 + b1, a2+b2, ..,an+bn)

Пустьλ — любое действительное число. Произведением вектора a на число λ будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора а на это число:

с = λа = (λa1, λa2, …, λan)

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть a, b и с — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) a + b=b + a — переместительное свойство;

2) (а + b) + с = а + (b + с)— сочетательное свойство;

3) X (а + b) = Ха + Хb, где X — действительное число;

4) (λ+μ)a=λa+μa, где λ и μ — действительные числа;

5) λ( μa)=(λμ)a— действительные числа;

6) а + 0=а;

7) для любого вектора а существует такой вектор - а, что

-а=(-1)а,

а + (-а) = 0;

8) 0 • а = 0 для любого вектора а.