10. Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют

квадратную матрицу k-ro порядка; определитель этой матрицы является минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-то порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел тип, т. е. max & = min (m, n).

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 19. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом этой матрицы.

Определение 20. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.

Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров.

В 1.2.6 было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых ее векторов-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведеное в данном разделе определение дает возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.

Т. к. диагональная система векторов всегда является линейно независимой, ранг матрицы (эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы)

1) к строке (столбцу) можно прибавить какую либо строку (столбец), предварительно умножив на какое – либо число

2) Строки (столбцы) можно переставить местами

3) Нулевая строка (столбец) может быть удалена

4) может быть удалена одна из двух пропорциональных строк (столбцов)