9. Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные

матрицы.

Определение 15. Матрица порядка п называется вырожденной, если

ее ранг r < n.

1.3. Определители 2 7

Определение 16. Матрица А ' называется обратной по отношению

к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

-1 -1

АА=А А = Е.

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не

существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой

матрицы порядка п ее ранг г< п, то для нее не существует обратной

матрицы.

Сформулируем правило нахождения обратной м-цы на примере м-цы А. 1. Находим опр-тель м-цы. Если Δ ≠0, то м-ца A-1 сущ-вует. 2. Составим м-цу В алгебр-ких доп-ний элементов исходной м-цы А. Т.е. в м-це В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое доп-ние Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной м-цы. 3. Транспонируем м-цу В и получим BT. Транспонировать м-цу - это значит поменять строки и столбцы местами (1ый столбец с 1ой строкой, 2ой столбец со 2ой строкой и т. д.).

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>),чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0;1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит|A|0;2. достаточные условия: Дано A, detA0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ..