Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
Т Если A, B из L(V, W), (Ax, y) = (Bx, y) для любого x, то A = B (рассотреть разность).
Отображение A* из W в V называется сопряженным к A, если: (Ax, y) = (x, A*y).
Т Сопряженный оператор линеен (брать разности скалярных прозиведений).
Т Для любого оператора существует, и при том единственный сопряженный оператор (скалярное произведение как произведение координат, расписав по базису (Ax,y) = Add(k=1, n)(x,ek)(Aek,y), рассмотреть оператор By- (Add k=1 n) (y, Aek)ek, внеся сумму под скалярное произведение, единственность вытекает из первых двух теорем этого билета).
Т Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими св-вами:
1) (A + B)*= A* + B*
2) (aA)* = (сопряжение a)A*
3) (AB)* = B*A*
4) (A^-1)* = (A*)^-1
5) (A*)* = A
(док-во вытекает из рассмотрения скалярных произведений)
Т Матрицы оператора и его сопряжения в паре ортонормированных базисов сопряжены друг другу (рассмотреть разложения образов по базису).
Следствие: ранг сопряженного оператора равен рангу исходного.
Т Для любого оператора ядро является ортогональным дополнением к образу сопряженного оператора, а ядро сопряженного ортогональным дополнением к образу самого оператора (рассмотреть скалярное произведение любого вектора из ядра на вектор из образа). (дальше для одного пространства)
Биортогональные системы – (xi, yj) = {1, i=j; 0, i != j}.
Биортогональные системы, образующие базисы пространства, называются биортогональной парой базисов.
Т Для любого базиса найдется и при том единственный биортогональный базис (рассмотреть ортогональное дополнение до системы векторов без одного).
Т В паре биортогональных базисов унитарного (евклидова) пространства матрицы сопряженных операторов связаны соотношением (A*)f=(Ae)H (Aej = Add(k = 1, n)akjek умножим скалярно на fi, и расписать наоборот для произведения, приравняв получим aij=!bji).
Т Если подпространство инвариантно относительно оператора, то его ортогональное дополнение ортогонально относительно сопряженного оператора (x из L y из отртогонального дополнения L, (Ax, y) = 0 = (x, A*y))
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).